均值不等式和证明.doc

1平均值不等式及其证明
平均值不等式是最基本的重要不等式之一,在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法,这里,我们选了部分具有代表意义的证明方法,其中用来证明平均值不等式的许多结论,其本身又具有重要的意义,特别是,在许多竞赛的书籍中,都有专门的章节介绍和讨论,如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等,这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
平均值不等式
一般地,假设为n个非负实数,它们的算术平均值记为

几何平均值记为
。
算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
,
即,
当且仅当时,等号成立。
上述不等式称为平均值不等式,或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单,容易记住,但它的证明和应用非常灵活、广泛,有多种不同的方法。为使大家理解和掌握,这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学均值不等式的证明
证法一(归纳法)
当时,已知结论成立。
假设对(正整数)时命题成立,即对有
。
那么,当时,由于
,,
关于是对称的,任意对调与,和的值不改变,因此不妨设,
显然,以及可得
.
所以

即两边乘以,得
。
从而,有
证法二(归纳法)
当时,已知结论成立。
假设对(正整数)时命题成立,即对有
。
那么,当时,由于

从而,有
证法三(归纳法)
当时,已知结论成立。
假设对(正整数)时命题成立,即对有
。
那么,当时,由于
证法四(归纳法和变换)
证法五(利用排序不等式)
设两个实数组和满足
,
则(同序乘积之和)
(乱序乘积之和)
(反序乘积之和)
其中是的一个排列,并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。
证明:
切比雪夫不等式(利用排序不等式证明)
杨森不等式(Young)设则对有
等号成立的充分必要条件是。
琴生不等式(Jensen)
设为上凸(或下凹)函数,则对任意
,我们都有
或
其中
习题一
设。求证:对一切正整数,有
设求证:
设为正实数,证明:

设,求证:
设,且,求证:

设,满足,求证:
设是非负实数,满足,求证:

设为给定的自然数,,对于个给定的实数
记的最小值为,求在的条件下,的最大值。