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“巧去根号”求解不定积分
[摘要]本文通过一题多解举例说明如何“巧去根号”求解不定积分。
[关键字]不定积分去根号三角代换变量代换
在求解被积函数表达式中含有根号的不定积分时,通常想办法去根号。一般去根号的方法有凑微分法、三角代换法、到代换法、取最小公倍数法,例如被积函数中同时出现,通常取,如果被积函数中只出现一个根号,例如便可去掉根号。但是,对于求解不定积分时经常碰到的一类例题,除了可以用上述方法“去根号”求解外,还有一种特殊的简便的“去根号”方法却不容易令人想到,例如下面的例题:
例求解不定积分
解法1 注意到这里因此,令
【注意】只要属于此类型的不定积分,计算时均可采用上述方法,该方法简洁,能够快速计算出结果。另外,本题还可用凑微分法,三角代换法,根号整体变量代换法“去根号”求解。
解法2 (凑微分法)
解法3 (三角代换法)
本题还可以令进行变量代换求解,但是对于本题而言计算有些麻烦,可以让学生动手去试试,让其与比较上述方法进行比较,此题选择什么方法“去根号”求解更简单方便。此题更适合选择上述三种方法。
在计算带根号的不定积分时,首先考虑“去根号”,如何简单、快速地“去根号”求解出不定积分,是不定积分教学的重点和难点。在教学中,教师可着重选择几道典型例题,通过一题多解的形式比较“去根号”法的适宜性,这样有利于发散学生思维,能够让学生领悟到不同的题目应怎样选择适宜的“去根号”方法,从而使得学生能够熟练计算各种类型的不定积分,为学习后续知识奠定坚实的基础。
[参考文献]
[1](下)(第六版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007.
[2][M].北京:高等教育出版社,1984:296~373.
(作得单位:昆山花桥商务城中专江苏昆山)