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函数的单调性
【高考试题剖析】
,在区间(0,2)上为增函数的是( )
=-x+1 = =x2-4x+5 =
【答案】B
(x)在区间[a,b]上具有单调性,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上( )


【解析】由f(a)·f(b)<0知f(a)与f(b)异号,又由f(x)在[a,b]上单调,知f(x)的图象必与x轴有惟一交点.
【答案】D
=loga(x2+2x-3)当x=2时y>0,则此函数的单调递减区间是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
【解析】当x=2时,y=loga5>0,∴a>1,由x2+2x-3>0x<-3或x>1,易见函数t=x2+2x-3在(-∞,-3)上递减,故函数y=loga(x2+2x-3)(其中a>1)也在(-∞,-3)上递减.
【答案】A
=log(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是_____.
【解析】设u=3x2-ax+5,∵logu为减函数,∴u在x∈(-1,+∞)上应为增函数,且当x∈(-1,+∞)时u>0使y=logu有意义,∴,∴-8≤a≤-6.
【答案】-8≤a≤-6
=f(x)为偶函数,它的最小正周期是3,且f(-1)=7,则f(7)=_____.
【解析】f(7)=f(2×3+1)=f(1)=f(-1)=7.
【答案】7
【典型例题精讲】
[例1]如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是_____.
【解析】对称轴x=1-a,由1-a≥4得a≤-3.
【答案】a≤-3
[例2]如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(,1)上是增函数,求f(2)的取值范围.
【分析】由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域,当然就应先求其定义域.
【解】二次函数f(x)在区间(,1)上是增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧,于是≤,解之得a≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.
[例3]讨论函数f(x)=(a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.
【解】设-1<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=
∵-1<x1<x2<1,
∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0
∵a>0, f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1,1)上为减函数.
当a<0时, f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在(-1,1)上为增函数.
[例4]求函数y=x+的单调区间.
【分析】求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性),一般有三种方法:
(1)图象法,(2)定义法,(3),利用y=x与y=的单调性(一增一减),也难以确定,故只有用单调性定义来确定,即判断f(x2)-f(x1)的正负.
【解】首先确定定义域:{x|x≠0},∴