微分方程MATLAB求解简介.ppt

实验目的
实验内容
MATLAB
2、学会用Matlab求微分方程的数值解.
实验软件
1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解.
1、求简单微分方程的解析解.
2、求微分方程的数值解.
求微分方程的数值解
(一)常微分方程数值解的定义
(二)建立数值解法的一些途径
(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解
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微分方程的解析解
求微分方程(组)的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
To Matlab(ff1)
结果:u = tg(t-c)
解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结果为: y =3e-2xsin(5x)
To Matlab(ff2)
解输入命令:
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't');
x=simple(x) % 将x化简
y=simple(y)
z=simple(z)
结果为:x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t
y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+(c1-c2+c3)e2t
z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
To Matlab(ff3)
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微分方程的数值解
(一)常微分方程数值解的定义
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题,一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。
因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
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(二)建立数值解法的一些途径
1、用差商代替导数
若步长h较小,则有
故有公式:
此即欧拉法。
2、使用数值积分
对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分,并利用梯形公式,有:
实际应用时,与欧拉公式结合使用:
此即改进的欧拉法。
故有公式:
3、使用泰勒公式
以此方法为基础,有龙格-库塔法、线性多步法等方法。
4、数值公式的精度
当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时(k为正整数,h为步长),称它是一个k阶公式。
k越大,则数值公式的精度越高。
欧拉法是一阶公式,改进的欧拉法是二阶公式。
龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。
线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。
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(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t,x]=solver(’f’,ts,x0,options)
ode45 ode23 ode113ode15sode23s
由待解方程写成的m-文件名
ts=[t0,tf],t0、tf为自变量的初值和终值
函数的初值
ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法
ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法
自变量值
函数值
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),
命令为:options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),
rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差.