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对数与对数运算知识点及例题解析
1、对数的定义
①若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:.
以10为底的对数叫做常用对数,log10N记作lgN .
以无理数e= 28…为底的对数称为自然对数,logeN记作lnN
对数的性质:
(1)(2)对数恒等式①alogaN=N;②logaaN=N (a>0,且a≠1).
5、对数的运算性质如果,那么
①加法: ②减法:
③数乘: ⑤logamMn=logaM.
⑥换底公式:
特殊情形:logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.
类型一、指数式与对数式互化及其应用
例1、将下列指数式与对数式互化:
(1);(2);(3);(4);(5);(6).
思路点拨:运用对数的定义进行互化.
解:(1);(2);(3);(4);(5);(6).
例2、求下列各式中x的值:
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
解:(1);
(2);
(3)10x=100=102,于是x=2;
(4)由
例3、若x=log43,则(2x-2-x)2等于( )
A. B. C. D.
解由x=log43,得4x=3,即2x=,2-x=,所以(2x-2-x)2=2=.
类型二、利用对数恒等式化简求值
例4、求值: 解:.
总结升华:对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数
例5、求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)
思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.
解:.
类型三、积、商、幂的对数
例6、已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解:(1)原式=lg32=2lg3=2b
(2)原式=lg26=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b
(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a
(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解:
(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
例8、已知3a=5b=c,,求c的值.
解:由3a=c得:
同理可得
.
例9、设a、b、c为正数,且满足a2+b2=:.
证明:
.
已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:.
证明:∵ a2+b2=7ab, ∴ a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴ lg(a+b)2=lg(9ab),