判断函数单调性的常见方法.doc

判断函数单调性的常见方法
函数单调性的定义:
一般的,设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A,如对于区间内任意两个值X1、X2,
1)、当X1<X2时,都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数,I称为函数的单调增区间;
2)、当X1>X2时,都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数,I称为函数的单调减区间。
常见方法:
Ⅰ、定义法:
定义域判断函数单调性的步骤
取值:
在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2,可设X1<X2;
作差(或商)变形:
作差f(X1)-f(X2),并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形;
定号:
确定差f(X1)-f(X2)的符号;
判断:
根据定义得出结论。
例:已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性并证明
解:任取x1、x2∈(-∞,+∞),x1<x2,则
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)
=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)
=(x1-x2) [﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]
∵x1、x2∈(-∞,+∞),x1<x2,
∴x1-x2<0,(x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0
故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
Ⅱ、直接法(一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出):
函数y=-f(x)的单调性相反
函数y=f(x)恒为正或恒为负时,函数y=f(x)的单调性相反
在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数
例:判断函数y=-x+1+1/x在(0,+∞)内的单调性
解:设y1=-x+1,y2=1/x,
∵y1在(0,+∞)上↓,y2在(0,+∞)上↓,
∴y=-