求函数值域的方法有图象法,函数单调性法,配方.doc

求函数值域的方法有图象法,函数单调性法,配方法,平方法,换元法,反函数法(逆求法),判别式法,复合函数法,三角代换法,基本不等式法等。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
-1
0
1
3
4
-4
x
y
求的值域
解法一:(图象法)可化为如图,
观察得值域
解法二:画数轴利用可得。
-1
0
3
解法三:(利用绝对值不等式)
所以同样可得值域
求函数的值域
解:对称轴

求函数的值域
解:(换元法)设,则

求函数的值域
解:(换元法)设,则原函数可化为

求函数的值域
解:(平方法)函数定义域为:

1
0
x
y
求函数的值域
解:(图象法)如图,值域为
求函数的值域
解:(复合函数法)令,则
由指数函数的单调性知,原函数的值域为
求函数的值域
解法一:(反函数法)
解法二:(利用部分分式法)由,可得值域
小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。
求函数的值域
解法一:(反函数法)
0
1
1

小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。
解法二:(复合函数法)设,
则

10、求函数的值域
解:(三角代换法) 设

小结:(1)若题目中含有,则可设
(2)若题目中含有
则可设,其中
(3)若题目中含有,则可设,其中
(4)若题目中含有,则可设,其中
(5)若题目中含有,则可设
其中
求函数的值域
0
1
解法一:(逆求法)

2
解法二:(复合函数法)设,
则
解法三:(判别式法)原函数可化为
时不成立
时,
综合1)、2)值域
解法四:(三角代换法)设,则
原函数的值域为
1
0
求函数的值域
5
解法一:(判别式法)化为
1)时,不成立
2)时,得
综合1)、2)值域
解法二:(复合函数法)令,则
所以,值域
函数的值域
解法一:(判别式法)原式可化为
解法二:(基本不等式法)1)当时,
时,
综合1)2)知,原函数值域为
求函数的值域
解法一:(判别式法)原式可化为

解法二:(基本不等式法)原函数可化为
当且仅当时取等号,故值域为
15、求函数的值域
解:令,则原函数可化为
利用函数在上是减函数,在上是增函数,得
原函数值域为
小结:已知分式函数,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为
的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。
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