孟森《明史讲义》.pdf

近世代数
第一章基本概念
§3 等价关系与集合的分类
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一、集合的分类
例1 设整数集
,并令
可知,
是整数集
的一些子集
,并具有以下特征:
(1)
(2)
(3)
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这三条性质说明,整数集恰好被分成一
些(四个)两两不相交的非空子集的并,这
里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组
成。
一般的,任取一个正整数
,都能将
分解成
个两两不相交的非空子集的并,
,使得每个子集恰好是由除以
余数相同
则被
的整数组成的。特别地,取
分解成偶数子集和奇数子集的并。
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例2
设
是
上一切二阶矩阵组成的集合,令
易知,
的这三个子集满足以下特征:
(1)
(2)
(3)
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这三条特性说明,二阶矩阵集恰好被
分成三个两两不相交的非空子集的并,而每
个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。
通过以上2个例子,可概括集合分类的定义.
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定义1
设
为任一个集合,而
是
的一些
其中
是指标集,如果
(2)
(3)
则称
是
的一个分类,而
中每个元素
都叫做
在
下的一个类.
的一些子集组成的集合,
(1)
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所以,例1中,
就是
的一个分类,
被分成四类;
的一个分类,在
下,
被分成三个类.
是二阶方阵集
例2中,
注意:可以看出,对每一个确定的分类
来说,凡是分在同一类里的元素都具有某种
共同的性质,而分在不同类的元素所具有的
这种性质也必不同。
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例1中,
的分类
使在同一类里的整数除以4之后余数都相同,
而分在不同类里的整数除以4后,得到的余
数也必然不同.
之下,同一类的二阶方阵秩数都相同,而分
在不同类里的二阶方阵,其秩数不然不同.
在分类
例2中,
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对集合分类具有的三个显著的特性还可
以从另一个角度来看,这种看法不仅具有普
遍的意义,同时也更便于进行教学的推理论
证.
在例1中,
在分类
之下,同在一类的任二整数
与
都具有
这样的关系:
与
的差被4整除,
不在同
一类的任二整数
与
必不具有这种关系,
即
与
的差不被4整除.
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“同类元素都具有同某种关系,不同类的
元素一定没有这种关系”这种看法所指的“某
种关系”完全由具体的集合、具体的分类所内
定的,决不会千篇一律地都是“差被4整除”
这种关系,比如例2.
但不管上述谈到的“某种关系”具体怎
样,一般来说,集合的任何一个分类都是利
用元素间的“某种关系”而得到的. 这就是下
面要讨论的问题:
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