矩阵的等价标准形应用.doc

设矩阵的秩rank,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q,使
,
,.
每个方阵A均可写成,其中B是可逆阵,C是幂等阵(即).
证设A的秩rank,则存在可逆阵P和Q,,
,显然B是个可逆阵,是个幂等阵,并且.
设n阶方阵A的秩rank,证明存在可逆阵P,使的后行全是零.
证存在可逆阵P和Q,使,从而的后行全是零.
设n阶矩阵A的秩rank,证明存在非零n阶矩阵B,使.
证由例1知存在可逆阵和幂等阵,,显然,且.
设n阶矩阵A,B满足,证明.
证存在n阶矩阵P,Q,使得,这里rank A,,从易知
,
,
由此显然得到,此时,从而,进而.
设n阶幂等阵A(即)的秩rank,证明存在可逆阵P,使
.
证存在可逆阵R和T,使,记,其中为r阶方阵,则
,
从即知,从而
,
因此,且,注意到的秩等于r,知r阶方阵的秩rank,必须,随之得到
.
现令可逆阵,可验证
设n阶幂等阵A的秩等于r,证明
rankrank;
trrank A;
任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积.
证由例5知存在可逆阵P(当A为实阵时,P亦可取为实阵),使得
.
(i)此时,这样
rankrank.
(ii)trtrrank.
(iii)易知,显然和都是实对称阵,从而也是实对称阵.
若n阶阵A满足
rankrank,
则A是个幂等阵.
证由例2知存在可逆阵P和,其中是r阶方阵,rank A,使得
,
又从条件知的秩rank,的秩也等于,必须,即,这时
是个幂等阵,进而A是个幂等阵.
(即),rank,证明
存在可逆阵P,使
.
rankrank.
每个实对合阵均可表为两个实对称矩阵之积.
,则A是对合阵.
证注意到A是对合阵当且仅当是幂等阵,利用例5~7的结论即得.
(i)设n阶阵A的秩等于r,满足,,使得
.
(ii)设A,B是如下的n阶矩阵:
,,
证明存在可逆阵P,使.
证(i),使
,
,即
,
于是,,的秩rank,因此,
.
记,P显然是可逆的,并且
.
(ii)显然A的秩rank,又容易验证,故据(i)即知结论.
设A是个矩阵,B是个矩阵,证明
.
证设A的秩rank,存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使,记分块阵,其中为r阶方阵,则有
同理可得
,
,
.
设矩阵A的秩等于r,证明对任意矩阵B,0是AB的至少重特征值,0是BA的至少重特征值.
证从例10的证明直接推出.
计算行列式
.
解根据例10可知
设A是个n阶可逆阵,.
证由例10得,注意到,的秩rank当且仅当当且仅当,即.
设均不为0,计算行列式
.
解因均不为0,故对角阵是可逆的,由例13可得
设A是个矩阵,B是个矩阵,证明下面的Sylvester秩不等式
rank AB ≥ rankrank.
证设A的秩等于r,B的秩等于s,存在m阶可逆阵P,n阶可逆阵Q和R,l阶可逆阵S,使得
,,
记,其中是矩阵,则
,
注意到P、T、S都是可逆阵,rank,故
rankrankrank,
而是T中去掉后行、后列所得的矩阵,而在矩阵中去掉一行(列),矩阵的秩最多减少1,因此
rankrank.
设A、B、C是任意三个矩阵,乘积ABC有意义,证明下面的Frobenius秩不等式:
rank ABC ≥ rankrankrank B.
证设A是矩阵,B是矩阵,C是矩阵,且设rank,则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,,,是矩阵,是矩阵,则
,
于是根据例15得到
rankrank≥ rankrank
≥ rankrank
= rankrankrank B .
设矩阵A的秩等于r,证明存在可逆阵、使PA的后行全为零,AQ的后列为零.
证存在可逆阵P和Q,使得,显然的后行为零,而且的后列为零.
设A、B是两个等秩的矩阵,若存在n阶矩阵U,使,则存在可逆阵V,使.
证设A、B的秩等于r,从例17知存在可逆阵P和Q ,使
,,
其中,,,则有
,
,
从而,并且进一步可得
,
注意到的秩等于r,故r阶方阵的秩也等于r,即是可逆的,于是有
显然是可逆的,我们把它的逆记为V,则