矩阵的等价标准形应用.doc

设矩阵的秩rank,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q,使,,,其中B是可逆阵,C是幂等阵(即).证设A的秩rank,则存在可逆阵P和Q,,,显然B是个可逆阵,是个幂等阵,,证明存在可逆阵P,,使,,证明存在非零n阶矩阵B,,,显然,,B满足,,Q,使得,这里rankA,,从易知,,由此显然得到,此时,从而,(即)的秩rank,证明存在可逆阵P,,使,记,其中为r阶方阵,则,从即知,从而,因此,且,注意到的秩等于r,知r阶方阵的秩rank,必须,,可验证设n阶幂等阵A的秩等于r,证明rankrank;trrankA;(当A为实阵时,P亦可取为实阵),使得.(i)此时,这样rankrank.(ii)trtrrank.(iii)易知,显然和都是实对称阵,,,其中是r阶方阵,rankA,使得,又从条件知的秩rank,的秩也等于,必须,即,这时是个幂等阵,(即),rank,证明存在可逆阵P,,,利用例5~7的结论即得.(i)设n阶阵A的秩等于r,满足,,使得.(ii)设A,B是如下的n阶矩阵:,,证明存在可逆阵P,(i),使,,即,于是,,的秩rank,因此,.记,P显然是可逆的,并且.(ii)显然A的秩rank,又容易验证,故据(i),B是个矩阵,,存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使,记分块阵,其中为r阶方阵,则有同理可得,,.设矩阵A的秩等于r,证明对任意矩阵B,0是AB的至少重特征值,,,注意到,的秩rank当且仅当当且仅当,,,故对角阵是可逆的,由例13可得设A是个矩阵,B是个矩阵,证明下面的Sylvester秩不等式rankAB≥,B的秩等于s,存在m阶可逆阵P,n阶可逆阵Q和R,l阶可逆阵S,使得,,记,其中是矩阵,则,注意到P、T、S都是可逆阵,rank,故rankrankrank,而是T中去掉后行、后列所得的矩阵,而在矩阵中去掉一行(列),矩阵的秩最多减少1,、B、C是任意三个矩阵,乘积ABC有意义,证明下面的Frobenius秩不等式:rankABC≥,B是矩阵,C是矩阵,且设rank,则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,,,是矩阵,是矩阵,则,于是根据例15得到rankrank≥rankrank≥rankrank=,证明存在可逆阵、使PA的后行全为零,,使得,显然的后行为零,、B是两个等秩的矩阵,若存在n阶矩阵U,使,则存在可逆阵V,、B的秩等于r,从例17知存在可逆阵P和Q,使,,其中,,,则有,,从而,并且进一步可得,注意到的秩等于r,故r阶方阵的秩也等于r,即是可逆的,于是有显然是可逆的,我们把它的逆记为V,,存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使,于是线性方程组可化为,记,则原方程组等价于,,容易验证都是的解,从而它们构成的一基础解系.□,然后对矩阵B作如下的初等变换:对A(即B的前m行)作初等的行变换,对B作初等的列变换,则经过有限次上述的初等变换后,B可变为,