(复变)习题3.doc

解设直线段的方程为,则. 故
计算积分,其中积分路径C为
从点0到的直线段;
沿抛物线,从点0到的弧段。
解(1)设.

(2)设.
计算积分,其中积分路径C为
从点到的直线段
沿单位圆的左半圆周,从从点到
沿单位圆的右半圆周,从从点到
解(1)设.
(2)设. 从到
(3) 设. 从到
4. 计算积分,其中积分路径C为:
(1) 从z=-2到z=2沿圆周|z|=2的上半圆周;
(2) 从z=-2到z=2沿圆周|z|=2的下半圆周;
(3) 沿圆周|z|=2的正向.
解:(1)C的参数方程为z=2eiθ, θ从π到0,
(2)C的参数方程为z=2eiθ, θ从-π到0,
(3)C的参数方程为z=2eiθ, θ=从0到2π,
5. 计算积分,其中C为|z|=.
解:f(z)=在|z|=内解析,由柯西积分公式,
6. 计算积分,其中为.
解
∵在所围的区域内解析
∴
从而
故
7. 计算积分,其中积分路径为
(1) (2) (3) (4)
解:(1)在所围的区域内,只有一个奇点.
(2)
(3)在所围的区域内包含一个奇点,故
(4)在所围的区域内包含两个奇点,故
8. 计算积分,其中C为|z|=2.
解:在C内作互不包含,互不相交的正向圆周C1和C2,C1内部只含奇点z=,C2内部只含奇点z=-1,、
9. 利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
10. 计算积分,其中C为
(1) (2) (3)
解(1)
(2)
(3)
11. 计算积分,其中C为|z|=2.
解:类似第5题,由柯西积分式
12. 计算积分,其中C为x2+y2=2x.
解:由,则z4=-1的根为,,,
.C的方程为|z-1|=,为奇点,作C内两个相互不相交、互不包含的正圆C1,C2,且C1内只有,C2内只有,则
13. 求积分,其中C为|z-2i|=2.
解:由,|z-2i|==3i,由柯西积分公式,
14. 求积分,其中r≠1.
解:当r<1时,在|z|=r内有2阶奇点0,所以有
当r>1时,在|z|=r内有3个奇点,类似第12题方法,作3个正圆C1,C2,C3,分别只含-1,0,1,则
15. 求下列积分的值,其中积分路径为
(1) (2) (3)
解(1)
(2)
(3),在|z|=1内只有奇点z0,由高阶导数公式得,
16. 设函数f(z)=ax3+bx2y+cxy2+dy3是调和函数,其中a,b,c, ,b,c, d之间应满足什么关系?
解:由调和函数定义.,即6αx+2by+2cx+6dy=0∴6α+2c=0,2b+6d=0;则C=-3α,b=-3d.

(1) (2)
解(1) 设,
∴

从而有
,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
(2) 设,
∴

从而有
,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.


,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
:函数,都是调和函数,但不是解析函数
证明:
∴,从而是调和函数.


∴,从而是调和函数.
但∵
∴不满足C-R方程,从而不是解析函数.
,求解析函数
(1) (2)
(3)
(4)
解(1)因为
所以
令y=0,上式变为
从而
(2)
用线积分法取为,有
由f(1)=0,C=0
(3)du=uxdx+uydy=vydy-vxdy
=[ex(cosy-ysiny+xcosy)+1]dx-[ex (ycosy+xsiny+siny)+1]dy
由f(0)=2,又得,C=2.
(4)
∴du=uxdx+uydy=υydx-υxdy