概率论与数理统计习题解答(第2章).doc

(A)
三、解答题
,以X表示两次中所得的最小点数
(1) 试求X的分布律;
(2) 写出X的分布函数.
解: (1)
X
1
2
3
4
5
6
pi
分析:这里的概率均为古典概型下的概率,所有可能性结果共36种,如果X=1,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可,共有(这里指任选某次点数为1,6为另一次有6种结果均可取,减1即减去两次均为1的情形,因为多算了一次)或种,故,其他结果类似可得.
(2)


:袋中放红色球及白色球各5只,抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会,然后从袋中一次取出5只球,若5只球同色,则获奖100元,否则无奖,以X表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数,求X的分布律.
解:
X
-1
99
pi
注意,这里X指的是赢钱数,X取0-1或100-1,显然.
,试求常数a.
解:因为,所以.

X
-1
2
3
pi
1/4
1/2
1/4
(1) 求X的分布函数;
(2) 求,,.
解:
(1) ,
(2) 、,
.
:
(1) P{X = 偶数}
(2) P{X ³ 5}
(3) P{X = 3的倍数}
解:(1) ,
(2) ,
(3) .
6. ,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)
(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率.
(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率.
解:
(1) .
(2) .
7. 某人进行射击,,独立射击400次,试求至少击中2次的概率.
解:设射击的次数为X,由题意知,
,其中8=400×.
8. ,当A发生不少于3次时,,试求指示灯发出信号的概率.
解:设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数,
则指示灯发出信号的概率
.
9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(以分钟计),若超过10分钟,,,并求P{Y ³ 1}.
解:因为X服从参数为5的指数分布,则,,,
则.

,试求:
(1) 系数a;
(2) X落在区间内的概率.
解:(1) 由归一性知:,所以.
(2) ..

试求:
(1) 系数A;(2) X落在区间(,)内的概率;(3) X的概率密度.
解(1)由F(x)在x=1的连续性可得,即A=1.
(2).
(3)X的概率密度.
(0,5)上的均匀分布,求x的方程有实根的概率.
解:因为X服从(0,5)上的均匀分布,所以
若方程有实根,则,即
,所以有实根的概率为

~N(3,4)
(1) 求
(2) 确定c使得
(3) 设d满足,问d至多为多少?
解: (1) 因为所以







.
(2) ,则,
经查表得
,即,得;由概率密度关于x=3对称也容易看出。
(3) ,
则,即,经查表知,
故,即.
,若,试求.
解:

所以,;由对称性更容易解出.
,试问:随着s的增大,概率P{|X – m | < s}是如何变化的?
解:则



.
上面结果与σ无关,即无论σ怎样改变,都不会改变;

X
-2
-1
0
1
3
pi
1/5
1/6
1/5
1/15
11/30
试求与的分布律.
解:由X的分布律知
p
x
-2
-1
0
1
3
4
1
0
1
9
2
1
0
1
3
所以 Y的分布律是
Y
0
1
4
9
p
Y
0
1
2
3
p
Z的分布律为

,求Y = eX的概率密度.
解:因为X服从正态分布,所以,
,
当时,,则
当时,
所以Y的概率密度为;