利用均值不等式证明不等式.doc

1,利用均值不等式证明不等式
(1)均值不等式:设是n个正实数,记


它们分别称为n个正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数。有如下关系:.等号成立的充要条件是。
先证
证法三:
上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛,好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决,而无需过分追求所谓更“高级”的不等式,这是应该引起我们注意的。
例1:求证下列不等式:
(1),
(2)
(3),其中
证明(1)
当且仅当,即取等号。
证明(2)
∴
证明(3),同理
,三式相加得
另一方面,
同理,
三式相加得
说明:(1)中涉及到与常数相关的不等式的证明问题,通过变形使其出现互为倒数的因式,利用均值不等式证得。(3)中累加的方法是常用的处理手段。
例2:若且,求证:
证明:左边
例3:已知是正数,满足
求证:(89年联赛试题)
证明:,同理:,…
,将以上式子相乘即得证。
例4:,求证:
证明:由有
显然上式不可能取等号,故原不等式成立。
说明:注意到的表达式的结构特点,当一些正数的倒数和易于化简时,应考虑含的均值不等式。
例5:若,求证:
证明:由有
∵,∴上式不可能取等号。
故原不等式得证。
例6:设是1,2,…n的一个排列,求证:
证明:∵是1,2,…n的一个排列
∴
于是
=
而
所以
说明:由于不等式的左边值的估计较为不便,且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了,所以本题采用在两边均加上的变形处理。
例7:设a,b,c为正实数,求证:
证明:
注:本题问题中由可以看得出给了均值定理的提示:,构造均值定理是本题的关键。
例8: ,求证:
证明左边=
.
注:本题多次利用了均值不等式
本题也可以由,再处理.
例9:已知求证:
分析:通过放缩,将异分母化为同分母,从而构造成出一些“零件不等式”,最后,将这些“零件不等式”相加,即可得出原不等式的证明。
证明:

①
同理可得②
③
将①、②、③三个零件不等式相加,得
注:本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式,构造出“零件不等式”①、②、③。
例10:如图△ABC及其内接△DEF分原三角形所得△AEF、△BDF、△CDE中,至少有一个三角形的面积不大于原△ABC面积的(这里所指△ABC的内接三角形DEF,是顶点D、E、F分别在△ABC三条边上的三角形)
证明:如图,设△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,且AE=e,AF=f,BD=m,BF=n,DC=p,EC=q,逆用公式,并注意到,于是有
    ,    ,
    ,    更注意到
   
   若S△CDE、S△AEF、S△BDF皆大于S△ABC的,(*)式不可能成立,故所给四个三角形面积中,至少有一个不大于
类似例子很多,望同学们在做题实践中,更多予以总结,不断提高自己的分析,归纳解题能力。
例11:已知,,,
求证:
证明:令,则,且
∴
∴
∴
说明:本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
例12; 设,求证:,其中都
是非负整数,且
分析与解:欲证的不等式涉及到的量较多,为此先考察特殊情形:,即先证明,该不等式关于轮换对称,不妨设,则左-右

,故式成立
进一步分析发现,式本身无助于原不等式的证明,其证明方法也不能推广到原不等式,故需重新考虑式的具有启发原不等式证明的其它证法。
考虑常用不等式证明的方法发现,式可以利用“均值不等式”或证,即

同理:以上三个式相加即得式。
运用此法再考虑原一般问题就简单多了,仿上,


以上三个式相加即得待证不等式。
例13:设锐角满足,求证:
分析与解:由已知,立即联想到长方体得对角线公式:
,令,
以为棱构造长方体,则易知:,
同理:,

上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径,那么,从结论不等式中观察到什么呢?由,即是三个不等式相乘的结果,就可以再变化为:,这样也无需构造长方体模型,而采用下面的证法:
由,知
都是锐角,
同理:,
将上面三个不等式两边分别相乘,即得待证不等式
通过上例的求解分析过程,我们可以看到问题的本质.
例14: 设,求证:
证明令,则
分两种情形:
(1)时,.
(2)时,.
点评注意到,故先作代换,使的表达形式更简单,放缩较为大胆,但要注意时能取到符号,放缩不能过头,最后回到平均值不等式。
例15:设为正实数,且满足1
求证:
证明:由均值不等式得:
从而
同理
各式相加得
又由题设得