截长补短法.ppt

“截长补短法”
的应用
截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条,再证剩下的一段等于另一段较短线段。
所谓补短,即把两短线段补成一条,再证它与长线段相等。
截长补短法简介
例1、如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:CD=AD+BC.
A
B
C
D
E
F
思路点拨:在长线段CD上截取DF=DA,则△DAE≌△DFE,再只需证明△CEF≌△CEB,即可得到CF=CB
截长法
如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=
∠CDE,∠DCE=∠:CD=AD+BC.
A
B
C
D
E
F
证明:(截长法)在DC上截取DF=DA,连接EF
利用SAS证明△ADE ≌△FDE
∴∠A= ∠5
又∵ AD∥BC ,∴∠A+ ∠B=180°
而∠5+ ∠6= 180°, ∴∠6= ∠B
在△CEF和△CEB中
∠6= ∠B(已证)
∠3= ∠4 (已知)
CE=CE(公共)
1
2
3
4
5
6
∴△CEF ≌△CEB(AAS)
∴CF=BC
∵CD=DF+CF
∴CD=AD+BC
A
B
C
D
E
F
3、再证△AED≌△BEF,得到AD=BF,由CF=BF+BC=AD+BC,得CD=AD+BC.
补短法思路导航
1、延长CB与DE相交于F,由已知条件可以推出∠DEC=90°
2、根据三角形判定定理证明△CED≌△CEF得到CD=CF,ED=EF
如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=
∠CDE,∠DCE=∠:CD=AD+BC.
例2、五边形ABCDE中,AB=AE ,BC+DE=CD ,∠ABC+∠AED=180°,求证:AD平分∠CDE
A
E
D
C
B
F
学法辅导
1、可考虑补短法,延长DE至F,使EF=BC,连AC,AF,证两次全等即可求解。
2、注意,用截长法得不到两次全等,故本题不宜用截长法来做
A
E
D
C
B
F
A
B
C
D
M
F
E
比较例1和例2,一般出现什么条件时可以同时使用截长补短两种办法?
思考
已知△ABC中, BD , CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD , CE交于点O,且BC=BE+CD,求∠A的度数。
A
B
C
E
D
O
做一做
A
B
C
E
D
O
F
M
4
3
2
1
已知△ABC中, BD , CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD , CE交于点O,且BC=BE+CD,求∠A的度数。
做一做
△ ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。
求证:DE=AD+BE
2
1
3