“三线合一”.doc

等腰三角形
巧用“三线合一”证题
“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质,在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用,供参考。
一. 直接应用“三线合一”
例1. 已知,如图1,AD是的角平分线,DE、DF分别是和的高。
求证:AD垂直平分EF
分析:从本题的条件和图形特征看,欲证AD垂直平分EF,因为有,所以只要证为等腰三角形即可
证明:


又
AD垂直平分EF
例2. 如图2,中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于点K,求证:
分析:可考虑作DE//CK交AB于E,因为M是AD的中点,所以K是AE的中点,只要证E是BK的中点,问题可得到解决。由于有,,所以就想到用“三线合一”。
证明:过点D作DE//CK交BK于点E





二. 先连线,再用“三线合一”
例3. 如图3,在中,,,D是BC的中点,P为BC上任一点,作,,垂足分别为E、F
求证:(1)DE=DF;(2)
分析:(1)欲证二线段相等,容易想到利用全等三角形。观察DE为或的一边,DF为或的边,但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点,于是我们想到连结AD一试,这时容易发现或
问题得证。
(2)欲证,只要证,即可
但由(1)已证出
又,故问题解决
证明:连结AD。D是BC的中点
,

DA平分,



四边形PEAF是矩形

又
又


(2)

又

即
三. 先构造等腰三角形,再用“三线合一”
例4. 如图4,已知四边形ABCD中,,M、N分别为AB、CD的中点,求证:
分析:由于MN与CD同在中,又N为CD的中点,于是就想到证为等腰三角形,由于MD、MC为、斜边AB上的中线,因此,所以,问题容易解决。
证明:连结DM、CM
,M是AB的中点

是等腰三角形
又N是CD的中点,
例5. 如图5,中,BC、CF分别平分和,于E,于F,求证:EF//BC
分析:由BE平分、容易想到:延长AE交BC于M,可得等腰,E为AM的中点;同理可得等腰,F是AN的中点,故EF为的中位线,命题就能得证。
证明:延长AE、AF分别交BC于M、N
,
为等腰三角形
即,
同理
为的中位线

一、证明角相等
图1
2
1
E
D
C
B
A
【例1】已知:如图1,在中,,:.
【分析】作出等腰的顶角平分线将顶角分为相等的两部分,根据“三线合一”的性质证得等于其中任一部分即可.
【证明】作的平分线AE,则有.∵,,∴(三线合一).∴.又∵,∴.∴.∴.
【点拨】添加辅助线,利用等腰三角形的“三线合一”性质,巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形,将已知条件与待证结论有机地联系在一起,从而容易获得问题的解决.
二、证明线段相等
【例2】(2009·汕头)如图2,是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使,过点D作,:
图2
E
C
A
M
D
B
【分析】在中,.如果能证得,由“三线合一”就可得出.
【证明】∵是等