初中数学总复习三角函数.doc

初中三角函数
〖考试要求〗
通过实例认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道300,450,600角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.
度数
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
  正弦和余弦
例1  已知0°≤α≤90°.(1)求证:sinα+cosα=1;
(2)求证:sinα+cosα≥1,讨论在什么情形下等号成立;
(3)已知sinα+cosα=1,求sinα+cosα的值.
证明(1)如图6-1,当0°<α<90°时,sinα=BC/AB,cosα=AC/AB,所以在这种情形下
当α=0°时,sinα=0,cosα=1;当α=90°,sinα=1,cosα=
sinα+cosα=1.
(2)如图6-1,当0°<α<90°时,sinα=BC/AB,cosα=AC/
当α=0°时,sinα+cosα=0+1=1;当α=90°时,sinα+cosα=1+0=°≤α≤90°时,总有
sinα+cosα≥1,
当并且只当α=0°或α=90°时,等号成立.
(3)由于已知sina+cosα=(2)可知α=0°或α=90°,所以总有
sinα+cosα=1.
例2  求证:对于0°≤α≤90°,
  正切和余切
证明(1)当0°<α<90°时,如图6-2,
当α=0°时,tgα=0,sinα=0,cosα==
(2)α必须满足不等式:
0°<α<90°.
如图6-2,
所以tgα·ctgα=1.
例2  已知锐角α,且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根,求
解:  x2-2x-3=0的两根为3和-=3.
如图6-3,由于tgα==3,AC=1,从而
证明: 如图6-2,设BC=a,AC=b,AB=c,则
所以原式成立.
点评  这里α≠0°,90°.
怎样理解锐角三角函数的概念?
答:现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义,是依据这样一个基本事实:在直角三角形中,当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值.
关于这点,我们看图1,图中的直角三角形AB1C1,AB2C2,AB3C3,…都有一个相等的锐角A,,许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起,并使一条直角边落在同一条直线上,,
B1C1∥B2C2∥B3C3∥…,
∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…,

因此,在这些直角三角形中,∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值.
根据同样道理,由“相似形”知识可以知道,在这些直角三角形中,∠A的对边与邻边的比值,∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值.
这样在△ABC中,∠C为直角,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA;锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tgA;锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作ctgA,于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数,即