第10次.ppt

例求平面、圆柱面和球面的法曲率。
平面, 。实际上,沿任意方向的法截线是直线。
圆柱面
若用表示切方向与u—线的夹角,
则
界于与0之间。
u—线
v—线
(法截线是直线)。
球面。
取内法向量,
取外法向量,
法截线都是大圆,曲率为
解
负值说明是外法向量。
二、渐近方向、渐近曲线
在点处,如果,任何切方向都是渐近方向;
并且L,M,N不全为0,有一个渐近方向。
,有两个渐近方向;
无渐近方向;
定义在曲面上一点,使法曲率为零的方向,即
的方向,称为曲面在该点的渐近方向。曲面上一条曲线,若在每
一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向,称该曲线为曲面上的
一条渐近曲线。
渐近曲线的微分方程:
则在曲面上存在两个处处
如果在曲面上处处有
线性无关的渐近方向场,在曲面上便有渐近曲线构成的参数曲线网。
定理2 曲面上的参数曲线网是渐近曲线网的充要条件是
前面我们利用曲面的第一、第二基本形式讨论了曲面的法曲率。研究曲面几何的另一种重要方法,是通过研究曲面法向量的变化,,再讲
Weingarten映射、主曲率和主方向, Gauss曲率及其几何意义等。
§3 Gauss映射和Weingarten映射、主曲率和主方向
一、Gauss映射和Weingarten映射
称为Gauss映射。
设是一块正则曲面,它在每一点处有一个确定
的单位法向量。将平行移动,使起点在坐标原
点,则其终点落在单位球面上,于是得到一个可微映射
为后面Gauss曲率的几何意义做准备。
Weingarten映射。
定义
易知W是线性映射,称W为曲面S在P 点的Weingarten映射。
定理1 曲面的第二基本形式可以表示成
定理2 Weingarten映射W是切空间到自身的自共轭映射,即对
P 点的任意两个切向量,都有
证明
二、主方向和主曲率的定义、欧拉公式
若有非零切向量及实数,使得,则称是线性变换W的一个实特征值,称为对应于特征值的实特征向量。
定义1 曲面上一点的Weingarten映射的特征方向,称为曲面
在该点的主方向,曲面沿主方向的法曲率(W的特征值),称为该点
的主曲率。
根据线性代数理论,自共轭映射W 有两个实的特征值(可能相等)。当两个特征值不相等时,有两个确定的特征向量(共线的认为相同),这两个特征向量彼此正交;当两个特征值相等时,任意一个非零切向量都是对应这个特征值的特征向量,因此曲面在该点的任意一个切方向都是对应的特征方向。
关于这个代数结论,在下一节求主方向时,我们直接给出
证明。下面先来讲Euler公式。
由上述代数结论可知,曲面在每一点有两个主曲率,无论这两个主曲率是否相等,都存在两个互相正交的主方向。
1、定义
设P 是曲面S上一点,取点P 的单位正交的主方向,设对应的主曲率分别是,即
由给定切平面一个正向,任取点P 的一个单位切方向,
设从沿正向到的转角为,
可以表示成
沿方向的法曲率
这就是下面的Euler公式。
定理3 (Euler公式)设是曲面在点P 的两个彼此正交的
单位主方向,设对应的主曲率是,则在P点沿任意一个单
位切向量的法曲率
2、Euler公式
P
推论如果,则曲面在该点沿任意一个切方向的法曲率
满足。两个主曲率是所有法曲率中的最值。
几点说明:
3、由于主曲率是法曲率中的最值,所以主曲率又称为曲面在
一点的最大曲率和最小曲率。
1、Euler公式
中的是由对应的
主方向到切方向的转角。
2、由于平行的方向法曲率相同,因此可以取或者为了
方便适当假设的取值范围。
定义2 曲面上的一条曲线,如果在每一点曲线的切方向是曲面的主方向,则称此曲线为曲面上的曲率线。
曲面在一点处的切方向是主方向的充要条件是。当为主方向时, , 是沿该方向的主曲率。
三、曲率线及两个充要条件
定理4 (Rodrigues定理)曲面S上一条曲线
是曲率线的充要条件是曲面S沿曲线C的法向量场, 沿曲线C的微商是曲线C 的一个切向量场,即
如果
则
其中是切线方向的主曲率。
证明
C是曲率线
设
定理5 曲面S上一条曲线C 是曲率线的充要条件是曲面S沿曲线
C 的法线构成一个可展曲面。
证明设曲面,曲线,s是弧
长参数。
由Rodrigues定理知
则曲面S沿曲线C的法线构成的直纹面的方程是
是可展曲面的充要条件是
如果C是曲率线,
曲面是可展曲面,则
曲面是可展曲面。
再由Rodrigues定理知C是曲率线。
P100 习题 1 证明:在曲面上任意一点,任意两个正交的切方向上的法曲率之和为常数。
证明
=常数。
练习