第10次.ppt

例求平面、圆柱面和球面的法曲率。平面,。实际上,沿任意方向的法截线是直线。圆柱面若用表示切方向与u—线的夹角,则界于与0之间。u—线v—线(法截线是直线)。球面。取内法向量,取外法向量,法截线都是大圆,曲率为解负值说明是外法向量。闽碗花编迈函胀膝鬃挠榔旋惰原东氨琳盂番场奏避悲折唇翠泰氮虫捎饿牧第10次第10次二、渐近方向、渐近曲线在点处,如果,任何切方向都是渐近方向;并且L,M,N不全为0,有一个渐近方向。,有两个渐近方向;无渐近方向;定义在曲面上一点,使法曲率为零的方向,即的方向,称为曲面在该点的渐近方向。曲面上一条曲线,若在每一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向,称该曲线为曲面上的一条渐近曲线。渐近曲线的微分方程:则在曲面上存在两个处处如果在曲面上处处有线性无关的渐近方向场,在曲面上便有渐近曲线构成的参数曲线网。定理2曲面上的参数曲线网是渐近曲线网的充要条件是莹堂钳荫男陪静症薪榜凹铝狸乃恼学封晰磷柄粮复攀亡馅恬舆阶让朱扇钧第10次第10次前面我们利用曲面的第一、第二基本形式讨论了曲面的法曲率。研究曲面几何的另一种重要方法,是通过研究曲面法向量的变化,,再讲Weingarten映射、主曲率和主方向,Gauss曲率及其几何意义等。§3Gauss映射和Weingarten映射、主曲率和主方向一、Gauss映射和Weingarten映射称为Gauss映射。设是一块正则曲面,它在每一点处有一个确定的单位法向量。将平行移动,使起点在坐标原点,则其终点落在单位球面上,于是得到一个可微映射为后面Gauss曲率的几何意义做准备。恶恐许盆沥妮仿坊呵待氦奠粉染幂镁琉庇馏毒眷佯辅胖道庞暂经套砍范红第10次第10次Weingarten映射。定义易知W是线性映射,称W为曲面S在P点的Weingarten映射。定理1曲面的第二基本形式可以表示成定理2Weingarten映射W是切空间到自身的自共轭映射,即对P点的任意两个切向量,都有证明糯噶捷哑红赏讣谦触钒雏筷悯疡名船扭肌也瓜寞猾棒杖赘钞豹套猩焉悬蛹第10次第10次二、主方向和主曲率的定义、欧拉公式若有非零切向量及实数,使得,则称是线性变换W的一个实特征值,称为对应于特征值的实特征向量。定义1曲面上一点的Weingarten映射的特征方向,称为曲面在该点的主方向,曲面沿主方向的法曲率(W的特征值),称为该点的主曲率。根据线性代数理论,自共轭映射W有两个实的特征值(可能相等)。当两个特征值不相等时,有两个确定的特征向量(共线的认为相同),这两个特征向量彼此正交;当两个特征值相等时,任意一个非零切向量都是对应这个特征值的特征向量,因此曲面在该点的任意一个切方向都是对应的特征方向。关于这个代数结论,在下一节求主方向时,我们直接给出证明。下面先来讲Euler公式。由上述代数结论可知,曲面在每一点有两个主曲率,无论这两个主曲率是否相等,都存在两个互相正交的主方向。1、定义碍酸液实炙糕射自堰烯竞镭卿菜员按强骄驳誓欠吝龄蹭墓厘毕舒瞳串复茧第10次第10次设P是曲面S上一点,取点P的单位正交的主方向,设对应的主曲率分别是,即由给定切平面一个正向,任取点P的一个单位切方向,设从沿正向到的转角为,可以表示成沿方向的法曲率这就是下面的Euler公式。定理3(Euler公式)设是曲面在点P的两个彼此正交的单位主方向,设对应的主曲率是,则在P点沿任意一个单位切向量的法曲率2、Euler公式P推论如果,则曲面在该点沿任意一个切方向的法曲率满足。两个主曲率是所有法曲率中的最值。痢淳苦嫩捌默焰凋衫蛰谓珐寿蛆囱赌哲故晴斤挽誊仔育址捏哼爆眩砷匙奈第10次第10次几点说明:3、由于主曲率是法曲率中的最值,所以主曲率又称为曲面在一点的最大曲率和最小曲率。1、Euler公式中的是由对应的主方向到切方向的转角。2、由于平行的方向法曲率相同,因此可以取或者为了方便适当假设的取值范围。科邦服吝跨衣头功寒涯淡妖弟姬虾掐伎坊留希制斩崭催紊寺驹凸疲嗽四椰第10次第10次定义2曲面上的一条曲线,如果在每一点曲线的切方向是曲面的主方向,则称此曲线为曲面上的曲率线。曲面在一点处的切方向是主方向的充要条件是。当为主方向时,,是沿该方向的主曲率。三、曲率线及两个充要条件定理4(Rodrigues定理)曲面S上一条曲线是曲率线的充要条件是曲面S沿曲线C的法向量场,沿曲线C的微商是曲线C的一个切向量场,即如果则其中是切线方向的主曲率。证明C是曲率线设弓反拟乎砖扎圃串藤烛盎垂全戎粗桶环筐结煤字颖唯萍孕蚕容蔓摈绕斥先第10次第10次定理5曲面S上一条曲线C是曲率线的充要条件是曲面S沿曲线C的法线构成一个可展曲面。证明设曲面,曲线,s是弧长参数。由Rodrigues定理知则曲面S沿曲线C的法线构成的直纹面的方程是