取 X 表示柯西分布随机变量,则柯西分布的特性函数表示为:
Φx(t;X0,γ)=exp(i*X0*t-γ*t的绝对值)
如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话,那么比值 U/V 为柯西分布。
柯西分布是一个数学期望不存在的连续型分布函数,它同样具有自己的分布密度,满足
分布函数F(X)=1/2+1/π*arctanx,-∞<x<+∞
密度函数ф(x)=1/[π(1+x^2)],-∞<x<+∞
的称为标准柯西分布。
记为C(θ,α)。
对X有柯西分布C(θ,α), 令Y=(X-θ)/α, 则称Y有C(0,1)分布。对于C(0,1)分布称为标准的柯西分布。正态分布也有类似的性质。
柯西分布有两个参数θ、a, ,不仔细看, 。插图中,。可发现,,。
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