柯西分布.doc

1、已知随机变量 X 服从柯西分布 221)(x xf X?????,求他的特征函数。解:?????dxexfΦ xjXX ??)()(??????dxex xj???? 2222 1 利用傅氏变换: ?????? ex ~ 2 22?????eΦ X)( 2 、平稳高斯过程)(tX 的自相关函数为????eR X2 1)( ,求)(tX 的一维和二维概率密度。解:02 1 lim )( lim )( 2??????????????eRRm XXX0? Xm2 1)()0( 2???? XXXRR?(1))(tX 的一维概率密度: 12 12 1),( 2 12x xXeetxf ????????(2)平稳高斯过程 n维概率密度等于 n个以为概率密度的乘积。 221211),;,( xXettxxf ??? 3、随机过程tBtAtX?? sin cos )(??,其中?为常数, A、 B 是两个相互独立的高斯变量,并且 0][][??BEAE , 222][][???BEAE 。求 X(t) 的数学期望和自相关函数。解:] sin [] cos [] sin cos [ )]([tBEtAEtBtAEtXE????????tBEtAE?? sin ][ cos ][??0?(0][][??BEAE ) )] sin cos )( sin cos [( )]()([),( 22112121tBtAtBtAEtXtXEttR X????????] sin sin cos sin sin cos cos cos [ 21 2212121 2ttBtt AB tt AB ttAE???????????? 21 2212121 2 sin sin ][ cos sin ][][ sin cos ][][ cos cos ][ttBEttBEAEttBEAEttAE???????????? 21 221 2 sin sin ][ cos cos ][ttBEttAE??????( 22 ])[(][][XEXDXE??) )( cos 12 2tt????)( cos 2????( 12tt???) 5、若随机过程 X(t) 在均方意义下连续,证明它的数学期望也必然连续。证: 由均方连续的定义 0])()([ lim 20??????tXttXE t, 展开左式为: )]()()()()()([ lim 2 20tXtXttXtXttXttXE t???????????=0 ))] ()( )(( ([ ))] ()( )(( ([{ lim 0????????????tXttXtXEtXttXttXE t固有0 )]([ )]([ lim 0??????tXEttXE t,证得数学期望连续。第六题参照 P62 、 64例题 6 、求随机相位正弦波ξ(t) =sin( ω 0t+ θ) 的自相关函数与功率谱密度, 其中, ω0 是常数;θ为是在区间(0,2 π) 上均匀分布的随机变量。数学期望: 自相关函数: 令 t1=t , t2=t+ τ,有 7、证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A、B 构成的随机过程 tBtAtX 00 sin cos )(????是宽平稳而不一定是严平稳的。其中 t 0?为常数, A、B 的数学期望为零,方差 2?相同。证:0 si