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构建新数列巧解递推数列竞赛题
递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一,由于题目灵活多变,答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题,基本思路是根据题设提供的信息,构建新的数列,建立新数列与原数列对应项之间的关系,然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中,怎样构造新数列是答题关键。
1 求通项
求通项是递推数列竞赛题的常见题型,这类问题可通过构建新数列进行代换,使递推关系式简化,这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列,使问题由难变易,所用的即换元和化归的思想。
例1、数列中,,。求。
(1981年第22届IMO预选题)
分析本题的难点是已知递推关系式中的较难处理,可构建新数列,令,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形。
解:构建新数列,使
则, ,即

化简得
,即
数列是以2为首项,为公比的等比数列。
即

2 证明不等式
这类题一般先通过构建新数列求出通项,然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列,然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。
例2、设, ,求证:。
(1990年匈牙利数学奥林匹克试题)
分析利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两个信息,考虑进行三角代换,构建新数列,使,化简递推关系式。
证明:易知,构建新数列,使,
则
,
又, ,从而
因此,新数列是以为首项,为公比的等比数列。
考虑到当时,有。
所以,
注:对型如,,都可采用三角代换。
3 证明是整数
这类题把递推数列与数论知识结合在一起,我们可以根据题目中的信息,构建新数列,找到新的递推关系式直接解决,或者再进行转化,结合数论知识解决。
例3、设数列满足,
求证: 。
(《中学数学教学参考》2001年第8期第53页,高中数学竞赛模拟试题)
分析直接令,转化为证明
证明:构建新数列,令
则,
代入整理得

从而
于是

由已知,,,由上式可知,,,依次类推, ,即。
例4、设r为正整数,定义数列如下: , 求证:。
(1992年中国台北数学奥林匹克试题)
分析把条件变形为比较与前的系数及与的足码,考虑到另一项为,等式两边同乘以,容易想到构新数列,使。
证明:由已知得

构建新数列,
则,




又
|
| ,从而。
4 解决整除问题
一般通过构建新数列求出通项,再结合数论知识解决,也可用数学归纳法直接证明。
例5、设数列满足,,对一切,有
,求所有被11整除的的一切n值