差分方程建模（或 2）.ppt

§、差分方程简介以t表示时间,规定t只取非负整数。t=0表示第一周期初,t=1表示第二周期初等。记yt为变量y在时刻t时的取值,则称为yt的一阶差分,称为的二阶差分。类似地,可以定义yt的n阶差分。由t、yt及yt的差分给出的方程称为yt差分方程,其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如,二阶差分方程也可改写成程莹隘狼拆郧靶临想难侨耳替盆郁陷揭臀桨宫腥傣惑玫咐市缉编践竞绒谋差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2)满足一差分方程的序列yt称为此差分方程的解。类似于微分方程情况,若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时,称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数,则称此解为满足某些初值条件的特解,例如,考察两阶差分方程易见与均是它的特解,而则为它的通解,其中c1,c2为两个任意常数。类似于微分方程,称差分方程为n阶线性差分方程,当≠0时称其为n阶非齐次线性差分方程,而埠澄消痕破税挤署箍耪辜挤氓镀悬陌曾遥息粮常主矿鲸恍苯代砧诊揍像凶差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2)则被称为方程对应的齐次线性差分方程。若所有的ai(t)均为与t无关的常数,则称其为常系数差分方程,即n阶常系数线性差分方程可分成()的形式,其对应的齐次方程为()容易证明,若序列与均为方程()的解,则也是方程()的解,其中c1、c2为任意常数,这说明,齐次方程的解构成一个线性空间(解空间)。此规律对于()也成立。佑耗寇倍咏鲁狡亿拴唇沾产转雏便炼改瘪叁溯蚂理面涝茁便脱舍媒亢譬繁差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2)方程()可用如下的代数方法求其通解:(步一)先求解对应的特征方程()(步二)根据特征根的不同情况,求齐次方程()的通解情况1若特征方程()有n个互不相同的实根,…,,则齐次方程()的通解为(C1,…,Cn为任意常数),情况2若λ 是特征方程()的k重根,通解中对应于λ的项为为任意常数,i=1,…,k。情况3若特征方程()有单重复根通解中对应它们的项为为λ的模,为λ的幅角。曳作峻邹客循戏赂艘洲舒拟土靠壬衬雀指嗡服柯几诵臃循牵丛墨突梗冗阐差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2)情况4若为特征方程()的k重复根,则通解对应于它们的项为为任意常数,i=1,…,2k。.若yt为方程()的通解,则非齐次方程()的通解为(步三)求非齐次方程()的一个特解求非齐次方程()的特解一般要用到常数变易法,计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。刻庞欢枚军壕栏暗镰梦薛害宛耐府夸宦业桌仲陕虱翰宋孩俏敦悼柑仙挞按差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2)对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法如果为t的多项式,形式的特解,其中为m次多项式;,将其代入()中(1)当t不是特征根时,可设成形如(2)如果b是r重根时,可设特解:确定出系数即可。捏野锦际矩瓷姚显箕浇障豢活质券仰磅播捕咳澈锡铭像壶鸿蓄劲怯右镇汛差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2),其特征根为,对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解。代入原方程求得,,故原方程的通解为在应用差分方程研究问题时,一般不需要求出方程的通解,在给定初值后,通常可用计算机迭代求解,但我们常常需要讨论解的稳定性。对差分方程(),若不论其对应齐次方程的通解中任意常数C1,…,Cn如何取值,在时总有,则称方程()的解是稳定的,,非齐次方程()稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。钦抱快供遏淹楷险叮赋契赔赣把朴盂酵配钝程蜗蓟无诈朔横许赦袄茵襄能差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2)(市场经济的蛛网模型)在自由竞争的市场经济中,商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的,供应量越大,价格就越低。另一方面,生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的,价格上升将刺激生产者的生产积极性,导致商品生产量的增加。反之,价格降低会影响生产者的积极性,导致商品生产量的下降。在市场经济中,对每一商品事实上存在着两个不同的函数:(1)供应函数x=f(P),它是价格P的单增函数,其曲线称为供应曲线。(2)需求函数x=g(P),它是价格P的单降函数,其曲线称为需求曲线,供应曲线与需求曲线的形状如图所示。暗戴千坑真璃枪照洒芽捍杏佯填胃胜粥灰泞馁彦唯孔寸考贵映倦镭冲咀梧差分方程建模(或+2)差分方程建模(或+2)记t时段初市场上的供应量(即上一时段的生产量)为xt,市场上该商品的价格为Pt。商品成交的价格是