【备战】高考数学专题讲座第7讲解题思想方法之整体思想探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】
第7讲:数学思想方法之整体思想探讨
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有:建模思想、归纳思想,分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。
整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面四方面探讨整体思想的应用:(1)整体运算;(2)整体代换;(3)整体设元;(4)整体变形、补形。
一、整体运算:整体运算是着眼结构的整体性,根据问题的条件进行运算(包括整体配方、求导等),达到简化解题思路,确定解题的突破口或者总体思路。
典型例题:例1. (2012年全国课标卷理5分)设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为【】

【答案】。
【考点】反函数的性质,导数的应用。
【解析】∵函数与函数互为反函数,∴它们的图象关于对称。
∴函数上的点到直线的距离为
设函数,则,∴。∴。
∴由图象关于对称得:最小值为。故选。
例2. (2012年全国课标卷文5分)当时,,则a的取值范围是【】
(A)(0,) (B)(,1) (C)(1,) (D)(,2)
【答案】B。
【考点】指数函数和对数函数的性质。
【解析】设,作图。
∵当时,,
∴在时, 的图象在的图象上方。
根据对数函数的性质,。∴单调递减。
∴由时,得,解得。
∴要使时,,必须。
∴a的取值范围是(,1) 。故选B。
例3. (2012年江西省文5分)已知若a=f(lg5),则【】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】二倍角的余弦,诱导公式,对数的运算性质。
【解析】应用二倍角的余弦公式进行降幂处理:。
∴,
。
∴。故选C。
例4. (2012年江西省理5分)设数列都是等差数列,若,,则
▲。
【答案】35。
【考点】等差中项的性质,整体代换的数学思想。
【解析】∵数列都是等差数列,∴数列也是等差数列。
∴由等差中项的性质,得,即,
解得。
例5. (2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,
(1)设,,求证:数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
【答案】解:(1)∵,∴。
∴。∴。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
(2)∵,∴。
∴。(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,。∴,∴。
又∵,∴是公比是的等比数列。
若,则,于是。
又由即,得。
∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。
∴。
∴。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。
【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
例6. (2012年全国大纲卷文12分)已知数列{}中, =1,前n项和.
(1)求,
(2)求{}的通项公式。
【答案】解:(1)由=1,得,解得。
同理,解得。
(2)∵,∴。
∴,即。
∴。
∴,即。
由=1,得。
∴{}的通项公式为。
【考点】数列。
【解析】(1)由已知条件,可直接求出。
(2)由求出,两式相减,求出。从而各项相乘即可求得{}的通项公式。
例7. (2012年天津市文13分)已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明。
【答案】解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由=,得。
由条件,得方程组
,解得。
∴。
(Ⅱ)证明:由(1)得, ①;
∴②;
由②-①得,
∴。
【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列和等比数列的通项公式。
【分析】(Ⅰ)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项。
(Ⅱ)写出的表达式,借助于错位相减求和。
还可用数学归纳法证明其成立。
例8. (2012年浙江省文14分)已知数列{an}的前