2.2 Lagrange 插值-数值分析.ppt

数值分析
§ Lagrange插值多项式
第二章函数近似计算的插值法
若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式
系数, 不但计算工作量较大, 且难于得到
的简单表达式.
一、代数多项式的构造:
可通过找插值基函数的方法,得到插值多项式!
十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进
行研究与整理,提出了易于掌握和计算的统一公式,
称为Lagrange插值公式。
它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。
Lagrange插值多项式
1. 线性插值
已知两个插值点及其函数值:
x
x0
x1
f(x)
f0
f1
插值节点
对应的函数值
求一次多项式
使得
由于方程组的系数行列式
所以,按Gramer法则,有唯一解
于是
或
(B-1)
容易验证,过点(x0,f0)与(x1,f1)直线方程就是式(B-1),如图2-3所示。
y
x
x0
x1
P1(x)
f(x)
P1(x)
f(x)
误差
图2-3
2. 抛物线插值
已知三个插值节点及其函数值:
f2
f1
f0
f(x)
x2
x1
x0
x
求一个二次多项式
使得
由于该方程组的系数行列式
所以,有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确定的。
满足上述条件,所以它就是所求的二次多项式。
容易看出
(B-2)
容易验证,P2(x)是过点(x0, f0)、(x1, f1)与(x2, f2)三点的抛物线,如图2-4所示。
y
x
x1
x0
x2
P2(x)
f(x)
图2-4
f0
f1
f2
3. n 次Lagrange插值
已知 n+1 个插值节点及其函数值:
fn

f2
f1
f0
f(x)
xn

x2
x1
x0
x
插值节点
相应的函数值
求次数不超过 n 的多项式Pn(x) 。
使得
根据线性空间的理论,
并且形式不是唯一的
且在不同的基下有不同的形式
且满足插值条件: