北航计算方法复习题.ppt

计算方法
复习课 2011-12-29
教学内容
引论
第一章插值方法
第二章数值积分
第三章常微分方程的差分方法
第四章方程求根的迭代法
第五章线性方程组的迭代法
第六章线性方程组的直接法
(但精度、误差等概念要贯穿于考题中)
考题形式
填空题——主要考察基本概念,对方法的理解
共8题,共40分
五章的内容基本平均分配
大题——计算、证明等
5-6道题,共60分
五章的内容基本平均分配
其中有1-2道题为作业题或书上的例题(可能改数)
第一章插值方法
拉格朗日插值(插值余项)
埃特金算法
牛顿插值
埃尔米特插值
分段插值
样条插值
曲线拟合的最小二乘法
第一章插值方法
计算函数值
需要计算函数值,但函数关系复杂,没有解析表达式。
常见的有:由观测数据计算未观测到的点的函数值。
——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替要寻求的函数——插值法。
第一章插值方法
几个典型问题:
问题1:设函数y=f(x)定义域为[a,b],x0,x1,…,xn是[a,b]上的n+1个互异点,且yi=f(xi)已知,要构造一个函数g(x),使得g(xi)=yi(i=0,1, …,n)。
问题2:求做n次多项式pn(x),使满足条件:
为一组已给数据。
问题3:=问题1+问题2:即过给定点,也要求导数相同。
第一章插值方法
问题1:设函数y=f(x)定义域为[a,b],x0,x1,…,xn是[a,b]上的n+1个互异点,且yi=f(xi)已知,要构造一个函数g(x),使得g(xi)=yi(i=0,1, …,n)。
几何意义:
x0
x1
x2
x3
x4
x
g(x)  f(x)
代数插值: 为多项式函数集
第一章插值方法
问题1:设函数y=f(x)定义域为[a,b],x0,x1,…,xn是[a,b]上的n+1个互异点,且yi=f(xi)已知,要构造一个函数g(x),使得g(xi)=yi(i=0,1, …,n)。
代数插值: 为多项式函数集
Lagrange插值公式
Aitken插值公式
Newton插值公式
第一章插值方法
Lagrange插值公式
Lagrange多项式
Lagrange基函数
满足
与节点有关,而与 f 无关
给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像?
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
A
B
C
第一章插值方法
Lagrange插值公式
Lagrange多项式
Lagrange基函数
思考1:令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数多项式和零多项式构成的集合,假设函数y=f(x)的已知值(xi,yi) (yi=f(xi),i=0,1,…,n),寻找一个多项式Pn(x) R[x]n+1,满足:
Pn(xi)=f(xi) (i=0,1,…,n) (*)
唯一性?
思考2:
f(x)=xk(k=0,1,…,n)关于互异节点xi(i=0,1,…,n)的拉格朗日插值公式