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高考函数问题专题复习
高职考考点归纳:
映射
一般地,设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任何一个元素,在集合中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合到集合的映射,记作:。
注:理解原象与象及其应用。
(1)中每一个元素必有惟一的象;
(2)对于中的不同的元素,在中可以有相同的象;
(3)允许中元素没有原象。
函数
定义:函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。
函数的表示方法:列表法、图像法、解析式法。
注:在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
函数的三要素:定义域、值域、对应法则
定义域的求法:使函数(的解析式)有意义的的取值范围
主要依据:
分母不能为0
偶次根式的被开方式0
特殊函数定义域
值域的求法:的取值范围
正比例函数: 和一次函数:的值域为
二次函数:的值域求法:配方法。如果的取值范围不是则还需画图像
反比例函数:的值域为
的值域为
的值域求法:判别式法
另求值域的方法:换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
函数图像的变换
平移


翻折

函数的奇偶性
定义域关于原点对称
若奇若偶
注:①若奇函数在处有意义,则
②常值函数()为偶函数
③既是奇函数又是偶函数
函数的单调性
对于且,若
增函数:值越大,函数值越大;值越小,函数值越小。
减函数:值越大,函数值反而越小;值越小,函数值反而越大。
复合函数的单调性:
与同增或同减时复合函数为增函数;与相异时(一增一减)复合函数为减函数。
注:奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。
二次函数
(1)二次函数的三种解析式
①一般式:()
②顶点式: (),其中为顶点
③两根式: (),其中是的两根
(2)图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
开口开口向上开口向下
对称轴:
顶点坐标:
与轴的交点:
一元二次方程根与系数的关系:(韦达定理)
为偶函数的充要条件为
二次函数(二次函数恒大(小)于0)
若二次函数对任意都有,则其对称轴是。
若二次函数的两根
ⅰ. 若两根一正一负
则
ⅱ. 若两根同正(同负)

ⅲ.若两根位于内,则利用画图像的办法。

注:若二次函数的两根;位于内,位于内,同样利用画图像的办法。
反函数
(1)函数有反函数的条件
是一一对应的关系
(2)求的反函数的一般步骤:
①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域
②由原函数的解析式,求出
③将对换得到反函数的解析式,并注明其定义域。
原函数与反函数之间的关系
原函数的定义域是反函数的值域
原函数的值域是反函数的定义域
二者的图像关于直线对称
原函数过点,则反函数必过点
原函数与反函数的单调性一致
指数函数与对数函数:
指数幂的性质与运算
(1)根式的性质:
①为任意正整数,
②当为奇数时,;当为偶数时,
③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。
(2) 零次幂:
负数指数幂:

分数指数幂:

实数指数幂的运算法则:
①②③
幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的次方。
幂函数
指数与对数的互化
、
对数基本性质:
①②③④
⑤
⑥
对数的基本运算:

换底公式:
指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
义


图
像


性
质
(1)
(2) 图像经过点
(3)
(1)
(2) 图像经过点
(3)
利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。
指数方程和对数方程
指数式和对数式互化
同底法
换元法
取对数法
超越方程(作图法)
注:解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
一、函数基础题
1、在下列四个函数中,定义域为{x︱x∈R且x≠0}的函数是( )
A. B. C. D.
2、设,则x= ( )
C. D.
3、函数y=3x与的图象之间的关系是( )
=1对称
4、函数f(x)=x︱x︱是( )
,又是增函数 ,又是减函数
,又是增函数 ,又是减函数
5、设函数f(2x)=㏒3(8x2+7),则f(1)= ( )
B.㏒3 39 C.