数学模型 种群的弱肉强食.ppt

种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)
种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫。
模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞),但是其中鲨鱼的比例却增加,为什么?
食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t)
甲独立生存的增长率 r
乙使甲的增长率减小,减小量与 y成正比
乙独立生存的死亡率 d
甲使乙的死亡率减小,减小量与 x成正比
方程(1),(2) 无解析解
食饵-捕食者模型(Volterra)
a ~捕食者掠取食饵能力
b ~食饵供养捕食者能力
Volterra模型的平衡点及其稳定性
平衡点
稳定性分析
P点稳定性不能用近似线性方程分析
p =0, q > 0
P: 临界状态
q < 0
P´ 不稳定
t
x(t)
y(t)
0











…
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用数学软件MATLAB求微分方程数值解
x~y 平面上的相轨线
计算结果(数值,图形)
x(t), y(t)是周期函数,相图(x,y)是封闭曲线
观察,猜测
x(t), y(t)
xmax , xmin  6, ymax  , ymin 
用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值:
x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。
食饵-捕食者模型(Volterra)
消去dt
用相轨线分析点稳定性
c 由初始条件确定
取指数
x0
fm
f(x)
x
0
g(y)
gm
y0
y
0
在相平面上讨论相轨线的图形
用相轨线分析点稳定性
相轨线
时无相轨线
以下设
y2
y1
x
Q3
Q4
q
y1
y2
x1
x2
p
y
y0
x
x0
P
0
x1
x2
Q1
Q2
Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)
Q3(x,y1), Q4(x,y2)
相轨线退化为P点
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q
相轨线是封闭曲线族
x
Q3
Q4
f(x)
x
x0
fm
0
g(y)
gm
y0
y
0
相轨线
P~中心
相轨线是封闭曲线
x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)
求x(t), y(t) 在一周期的平均值
轨线中心
用相轨线分析点稳定性
•
T2
T3
T4
T1
P
T1 T2 T3 T4
x(t) 的“相位”领先 y(t)
模型解释
初值
相轨线的方向