2-5_2-6连续型随机变量及其常见分布.pdf

连续型随机变量连续型随机变量
均匀分布和指数分布均匀分布和指数分布
连续型随机变量连续型随机变量
X 的分布函数 F x ,)( 存在
x
非负函数, 使对于任意实数有= ttfxFx ,d)()(
∫∞−
则称 X 为连续型随机变量其中)(, 称为 Xxf 的概率
密度函数,简称概率密度.
f x)(
∞+
= xxfS = 1d)(
∫−∞
S
x2 1 1
= d)( xxfS
1 ∫••
x1 o x
x1 x2
2 性质 f x ≥;0)()1(
∞+
xxf = ;1d)()2(
∫∞−
+∞
证明 F =∞= xxf .d)()(1
∫−∞
x
P{)3( x X ≤< x = F x − F x )()(} 2
1 2 2 1 = ∫ xxf ;d)(
x1
证明 P{x1 < X ≤ x2 = F x2 − F x1)()(}
x2 x1 x
= d)( xxf − d)( xxf = 2 xxf .d)(
∫∞−∫−∞∫
x1
同时得以下计算公式
a
P X a =≤ F a)(}{ = xxf ,d)(
∫−∞
P X a −=> P X ≤ a}{1}{ = − F a)(1
∞ a
= − d)(d)( xxfxxf
∫∞−∫−∞
∞−∞∞
= + d)(d)( xxfxxf = xxf .d)(
∫∞−∫a ∫a
若)()4( 在点 xxf 处连续则有′= xfxF ).()(,
注意对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a

P X = a = .0}{
+Δxa
证明 P X = a}{ = d)(lim xxf = .0
Δx→0 ∫a
由此可得
P{a ≤ X ≤ b}= P{a < X ≤ b} = P{a ≤ X < b}
= P{a < X < b}.
连续型随机变量取值落在某一
区间的概率与区间的开闭无关
注意
若X是连续型随机变量,{ X=a }是不
可能事件,则有 P = aX = .0}{ 连
续
若 aXP == ,0}{ 型
则不能确定= aX }{ 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量, 离
散
= aX }{ 是不可能事件⇔ P X = a = .0}{ 型
例1 设随机变量 X 具有概率密度
⎧kx x <≤,30,
⎪ x
xf )( = ⎨2 x ≤≤−,43,
⎪ 2
⎩⎪,0 其它.
)1( 确定常数 k )2(; 求 X 的分布函数;
7
求 1{)3( XP ≤< }.
2
∞
解由 xxf = ,1d)()1(
∫∞−
3 4 x 1
得 xkx 2(d x =−+ ,1d) 解之得 k = .
∫∫0 3 2 6
1
)2( = 知由 Xk 的概率密度为
6
⎧ x
⎪ x <≤,30,
⎪6
⎪ x
xf )( = ⎨2 x ≤≤−,43,
⎪ 2
⎪
⎪
⎩,0 其它.
x
由= d)()( xxfxF 得
∫∞−
⎧ x < ,0,0
⎪
x x
⎪ xx <≤,30,d
⎪∫0 6
xF )( = ⎨
3 x x x
⎪ x 2(d −+ xx <≤,43,d)
⎪∫∫036 2
⎪
⎩ x ≥.4,1
⎧,0 x < ,0
⎪
x2
⎪, x <≤,30
⎪12
即 xF )( = ⎨
x2
⎪ 23 x x <≤−+−,43,
⎪ 4
⎪
⎩,1 x ≥.4
7 7 41
1{)3( XP ≤< } ( −= FF )1() = .
2 2 48