第三章 多维随机变量及其分布.doc

第三章多维随机变量及其分布
随机向量的定义:
随机试验的样本空间为S={w},若随机变量X1(w),X2(w),…,Xn(w)定义在S上,则称(X1(w),X2(w),…,Xn(w))为n维随机变量(向量)。简记为(X1,X2,…,Xn)。
二维随机向量(X,Y),它可看作平面上的随机点。
对(X,Y)研究的问题:
1.(X,Y)视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度;Joint
,Y的概率分布——边缘(际)分布律、边缘分布函数、边缘概率密度;
marginal
;
4.(X,Y)函数的分布。
§ 二维随机变量的分布


若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i,j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…
——()
称()式为(X,Y)的联合分布律。
(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下:
Y
X
y1 y2 … yj …
X的边缘分布率
X1
p11 p12 p1j …
P1·.
X2
p21 p22 p2j …
P2·
M
M M M
M
xi
pi1 pi2 pij …
Pi·
M
M M M
M
Y的边缘分布率
P·1 p·2 M p·j …
1

性质:
(1) pij ³ 0,i, j=1,2,…
(2) =1

设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为
pij= P{X=xi,Y=yi} i, j=1,2,…
分量X和Y的分布律分别为
pi.=P{X=xi} i=1,2,…满足①pi.³0②S pi.=1

= p{Y=yi}j=1,2,…①³0②S =1
(X,Y)关于X和Y的边缘分布律,简称为(X,Y)的边缘分布律。
二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系:
pi.=P{X=xi}=P{X=xi, S}=P{X=xi,(Y=yj)} =P{X=xi,Y=yj}=pij ()
同理可得
=pij ()
例1:一整数X随机地在1,2,3三个整数中任取一值,另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求(X,Y)的联合分布率及边缘分布率。
解:
Y
X
1
2
3
X的边缘分布率
1
1/3
0
0
1/3
p1·
2
1/6
1/6
0
1/3
p2·
3
1/9
1/9
1/9
1/3
p3·
Y的边缘分布率
11/18
5/18
1/9
1
P·1
p·2
p·3

设(X,Y)是二维随机变量,对任意的实数x,y令
F(x,y)=P{X£x,Y£y} ()
则称 F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数。
(x,y)的性质:
性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数,即若x1<x2,对任意的实数y,则有 F(x1,y)£F(x2,y);
若y1<y2,对任意的实数x,则有 F(x,y1)£F(x,y2)。
性质2 对于任意的实数x,y,均有
0£F(x,y)£1, F(x,y)=0,
F(x,y)=0, F(x,y)=1。
性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的,即对任意的实数x0和y0,均有
F(x,y)=F(x0,y),
F(x,y)=F(x,y0)。

性质4 若x1<x2, y1<y2, 则
F(x2,,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)³0
(X,Y)落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为:
F(x2,,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)
=P{x1<X£x2,y1<Y£y2}
例 2 P71,
照书上讲。

(X,Y)的分量X,Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y),称它们为X,Y的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下:
FX(x)=P{X£x}=P{X£x,-<Y<+}=F(x,+),
FY(y)=P{Y£y}=P{-<X<+,Y£y}=F(+,y)。
例2:(第一版)设
,
求:(