第一类曲线积分
一、第一类曲线积分的概念与性质
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB ,
其线密度为
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
为计算此构件的质量,
: 曲线形构件的质量
采用
设是空间中一条有限长的光滑曲线,
义在上的一个有界函数,
都存在,
上对弧长的曲线积分,
记作
若通过对的任意分割
局部的任意取点,
下列“乘积和式极限”
则称此极限为函数
在曲线
或第一类曲线积分.
称为被积函数,
称为积分弧段.
曲线形构件的质量
和对
如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,
如果 L 是闭曲线, 则记为
则定义对第一类曲线积
分为
思考:
若在 L 上 f (x, y)≡1,
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路:
计算定积分
转化
定理:
且
上的连续函数,
证:
是定义在光滑曲线弧
则曲线积分
求曲线积分
根据定义
点
设各分点对应参数为
对应参数为
则
说明:
因此积分限必须满足
(2) 注意到
因此上述计算公式相当于“换元法”.
因此
如果曲线 L 的方程为
则有
如果方程为极坐标形式:
则
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
则
例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧.
解:
上点 O (0,0)
例3. 计算
其中L为双纽线
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
利用对称性, 得
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