成都理工大学 高数下 重修 PPT 1阶.ppt

常微分方程
微分方程的基本概念
第一节
微分方程的基本概念
引例
几何问题
物理问题
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地, n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
—使方程成为恒等式的函数.
通解
—解中所含独立的任意常数的个数与方程
—确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
的阶数相同.
特解
微分方程的解
—不含任意常数的解,
定解条件
其图形称为积分曲线.
求所满足的微分方程.
例1. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
解: 如图所示,
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即
点 P(x, y) 处的法线方程为
且线段 PQ 被 y 轴平分,
第二节
转化
可分离变量微分方程
第二节
解分离变量方程
可分离变量方程
分离变量方程的解法:
设 y=(x) 是方程①的解,
两边积分, 得
①
则有恒等式
②
当G(y)与F(x) 可微且 G(y)  g(y)  0 时,
的隐函数 y=(x) 是①的解.
则有
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
同样, 当 F(x) = f (x)≠0
时,
由②确定的隐函数 x=(y) 也是①的解.
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),
说明由②确定
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得
两边积分
得
即
( C 为任意常数)
或
例2. 解初值问题
解: 分离变量得
两边积分得
即
由初始条件得 C = 1,
( C 为任意常数)
故所求特解为
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令
则
故有
即
解得
( C 为任意常数)
所求通解: