例谈学习中学数学中的“有限”和“无限”.doc

例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”
湖州二中陆丽滨
日常生活中,我们常常和有限、无限打交道:天空有边吗?星星有多少?两面镜子对照,镜子中有镜子,…,一共有多少面?文学作品中,如王之涣的“欲穷千里目,更上一层楼”;李白的“孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流”;中国古代的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等等,:一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说:“美一位中学生找到了圆周率的末位小数”,是无理数,怎么有末位小数呢?这是个常识性错误,?其中绝大多数师生认为“这是近似等式”,虽然最后结论是精确等式,却仍有千千万万的人“不服”.又是一个涉及无限观的常识性问题.
在今天的中学数学中,:“数学是关于无限的科学.”其中有限的方面叫人感觉具体、形象,便于教师教与学生学;而无限的方面使学生充满想象,,:无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础.
在新课标教学中,笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等,无不体现中学数学的“有限”与“无限”.下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”.
一、比较两个集合的元素个数
人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页(2007年1月第2版,2008年5月浙江第6次印刷)阅读材料——“有限集合中元素的个数,可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,例如:
,,我们无法数出集合中的元素个数,?”笔者不妨再问:“集合是集合的真子集吗?”
我们都知道在有限集中,?
其实,无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的,,康托尔把正整数集的势(元素个数)称之为“阿列夫零”个,,有限集合的基数是自然数,、实数集是不可数集,但它们之间存在着一一对应关系,也就是说有比自然数集合更大的集合,,任一线段上的点能与全直线上的点,与正方形内的点,,,是按数学常识根本无法想象的,康托尔还证明了比实数集合更大的集合.
今天,集合论已经成为整个数学的基础,以至于希尔伯特动情地说:“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”,“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物,是在纯粹理性的范畴中,人类活动最美的表现之一.”
为此,有如下定理:
(1)两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数.
(2)有限集合不和其任何真子集等势.
(3)无限集合可以和其真子集等势.
二、割圆术,化直为曲
刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时,从内接正六边形(“六觚”)开始割圆,依次得到内接正十二边形(“十二觚”)