矢量分析.ppt

矢量分析一、:如果在全部空间或部分空间中的每一点,都对应着某个物理量的一个确定值,就说在这空间中确定了该物理量的一个场。或:设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数,则称定义在此空间区域内的函数为场。——研究的是标量函数。例:温度场、压力场、密度场等。矢量场——研究的是矢量函数。例:速度场、力场、电磁场等。(1)标量场:令,对应的曲面称为等位面。在等位面上的值相等,取一系列不同的,这样:标量场很多区域。等位面的相对位置、疏密程度标量函数的变化情况:(1)等位面靠得近的地方,函数变化得快;等位面靠得远的地方,函数变化得慢。(2)函数值的改变主要在等位面的法线方向,沿等位面切线方向,函数值不改变。(2)矢量场:矢量线——线上任一点的切线方向与该点的矢量方向重合。上式中消去时间变量t,可得矢量线的表达式。二、任一时刻场中每一点邻域内函数变化状况的描述(一)梯度——标量场不均匀程度的量度设:,M:场中任一点,S:过M的曲线,:S上离M无限邻近的点,有:——在M点沿S方向函数的变化——方向导数显然:过M可作无穷多个方向无限多个方向导数(但并不独立)。后面会发现:沿法向的方向导数占有较特殊的地位,由此,引出梯度的概念。过M作等位面:过(与M邻近)作等位面:等位面C上M点的法向(指向增加的方向)与等位面交于;过M任作另一方向与交于,沿、方向的方向导数:几何关系:这样:若已知,则可得到任一方向上的方向导数。定义:大小为,方向为的矢量为标量函数的梯度,记为——M点邻域内函数的变化显然:——在方向的方向导数值最大,即在方向上变化最快由得:(:方向上的单位矢量)直角坐标系:由此:说明:(1)梯度描写了场中任一点M邻域内函数的变化状况,是标量场不均匀性的量度;(2)梯度的方向与等位面的法向重合,且指向增加的方向,大小为方向导数;