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音乐中的数学之美
南开大学第三届大学生“数学之美”论坛
孙思玉
应用心理学
目录
音乐与数学结合的起源
乐理中的数学规律
乐曲结构与黄金分割
和声的傅立叶分析
乐器中的数学奥妙
音乐与数学结合的起源
最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派,他们用比例把二者有机结合起来。
乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系,拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度
协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出
被拨动弦的每一种和谐的结合,都能表示为整数比,由增大成整数比的弦的长度,能够产生全部的音阶。
音乐与数学结合的起源
C
B
A
G
F
E
D
C 2
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音乐与数学结合的起源
五度相生律也是毕达哥拉斯的首创,故又名毕达哥拉斯律
基础音:发音体整体振动产生的最低的音是基础音,是由一根弦或空气柱整体振动时产生的
泛音:以基础音为标准,其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同时振动,是泛音。泛音的组合决定了特定的音色,并能使人明确地感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音。
音乐与数学结合的起源
根据第一、二泛音间频率比为2:3的关系进行音的繁衍,以此为纯五度,进行一系列的五度相生,从而得到调中诸音。
纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素,由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。
纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》。直至十六世纪我方和一次立方的方法求出了十二次方根,这实际就是一百多年后由德均律,其频率由等比数列通项公式确定,,是2开12次方的算数根。
音乐与数学结合的起源
乐理中的数学规律
音程转位
音程:两个音之间在音高上的关系单音程:八度以内的音程音程转位:将音程的冠音和根音相互颠倒位置
乐理中的数学规律
音程转位
对单音程而言,原音程及其转位音程的度数之和为9。
在音符方面,小于全音符的诸音符由除法确定,如二分音符为全音符的,四分音符为全音符的。
拍子是拍的分组,如拍子是以全音符的
为1拍,每小节有3拍,即,而拍子可认为以全音符的为一拍,每小节有6拍,即。

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乐曲结构与黄金分割
对称
在数学上就是1:1,由上下句构成的乐段,由起承转合四部分构成的作品,由四个乐章构成的交响曲,都体现了造型的对称美
作曲
黄金分割
把线段L分成两段,使其中较长段x为全段与较短段(L-x)的比例中项,即满足等式L:x=x:(L-x).x=…倍L