标准偏差相对标准偏差公式.doc

标准偏差出自MBA智库百科(http://wiki./) 数学表达式: S-标准偏差(%)n-试样总数或测量次数,一般n值不应少于20-30个i-物料中某成分的各次测量值,1~n;标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有σ1=li−X σ2=l2−X ……σn=ln−X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为(1) 由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明,随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)Vi来代替真差σ,即设一组等精度测量值为l1、l2、……ln 则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时,,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此,我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”表示。于是,将式(2)改写为(2') 在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导(过程从略)有于是,式(2')可写为(2") 按式(2")求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布,它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计值为(3) 令则即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数,Kσ值见表。计算Kσ时用到Γ(n+1)=nΓ(n) Γ(1)=1 由表1知,当n>30时,。因此,当n>30时,式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30~50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时,由于Kσ值的影响已不可忽略,宜用式(3'),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到(4) 式(4)适用于n>50时的情况,当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。 ,不宜现场采用,而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得l1、,且它们服从正态分布,则 R=lmax−lmin 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为(5) S3称为标准偏差σ的无偏极差估计,d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数,其值见表2 由表2知,当n≤15时,,因此,标准偏差σ更粗略的估计值为(5') 还可以看出,当200≤n≤1000时,因而又有(5") 显然,不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低,但当5≤n≤15时,式(5)不仅大大提高了计算速度,而且还颇为准确。当n>10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组的极差R1、,再由各组极差求出极差平均值。极差平均值和总体标准偏差的关系为需指出,此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则,分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。标准偏差σ的平均误差估计平均误差的定义为误差理论给出(A) 可以证明与的关系为(证明从略) 于是(B) 由式(A)和式(B)得从而有式(6)就是佩特斯()公式。用该公式估计δ值,由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例[1]