标准偏差与相对标准偏差公式.doc

标准偏差数学表达式: ? S- 标准偏差( %) ? n- 试样总数或测量次数,一般 n 值不应少于 20-30 个? i- 物料中某成分的各次测量值, 1~n; 标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式设对真值为 X 的某量进行一组等精度测量, 其测得值为 l、l、…… l 。令测得值 l 与该量真值X 之差为真差占σ, 则有σ=l?X σ=l?X ……σ=l?X 我们定义标准偏差( 也称标准差)σ为(1) 由于真值 X 都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用 n 次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时, 算术平均值就是真值。于是我们用测得值 l 与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差) V 来代替真差σ,即设一组等精度测量值为 l、l、…… l 则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差 V 的关系为将上式代入式(1) 有(2) 式(2) 就是著名的贝塞尔公式(Bessel) 。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时, , 可见贝塞尔公式与σ的定义式(1) 是完全一致的。应该指出,在n 有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2) 为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S”表示。于是, 将式(2) 改写为(2') 在求 S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导( 过程从略)有于是,式(2') 可写为(2") 按式(2") 求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义 S为样本方差数学上已经证明 S是总体方差σ的无偏估计。即在大量重复试验中,S 围绕σ散布, 它们之间没有系统误差。而式(2') 在n 有限时,S 并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说 S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为(3) 令则即S和S 仅相差一个系数 K,K 是与样本个数测量次数有关的一个系数,K 值见表。计算 K 时用到Γ(n+ 1)=nΓ(n)Γ(1) =1 由表 1知,当 n>30 时, 。因此,当 n>30 时,式(3') 和式(2') 之间的差异可略而不计。在 n=30 ~ 50 时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当 n<10 时, 由于 K 值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计将σ的定义式(1) 中的真值 X 用算术平均值代替且当 n 有限时就得到(4) 式(4) 适用于 n>50 时的情况,当 n>50 时,n和(n-1) 对计算结果的影响就很小了。 标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。极差用"R" 表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的 n 个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得 l、,且它们服从正态分布,则 R=l?l 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为(5) S 称为标准偏差σ的无偏极差估计,d 为与样本个数 n( 测得值个数) 有关的无偏极差系数,其值见表 2 由表 2知,当n≤ 15 时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为(5') 还可以看出,当 200 ≤n≤ 1000 时, 因而又有(5") 显然, 不需查表利用式(5') 和(5") 了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指出,式(5) 的准确度比用其他公式的准确度要低,但当5≤n≤15时,式(5) 不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当 n>1 0时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差 R、, 再由各组极差求出极差平均值。极差平均值和总体标准偏差的关系为需指出, 此时 d 大小要用每组的数据个数 n 而不是用数据总数 N(=nK) 去查表 2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列, 不能打乱或颠倒。标准偏差σ的平均误差估计平均误差的定义为误差理论给出(A) 可以证明与的关系为( 证明从略) 于是(B) 由式(A) 和式(B) 得从而有式(6) 就是佩特斯() 公式。用该公式估计δ值, 由于\right|V\right| 不需平方, 故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式