离散数学(集合论)课后总结.doc

第三章集合论基础1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。⑴{a}∈AT⑵Ø({a}ÍA)F⑶c∈AF⑷{a}Í{{a,b},c}F⑸{{a}}ÍAT⑹{a,b}∈{{a,b},c}T⑺{{a,b}}ÍAT⑻{a,b}Í{{a,b},c}F⑼{c}Í{{a,b},c}T⑽({c}ÍA)®(a∈Φ)T2、证明空集是唯一的。(性质1:对于任何集合A,都有ΦÍA。)证明:假设有两个空集Φ1、Φ2,则因为Φ1是空集,则由性质1得Φ1ÍΦ2。因为Φ2是空集,则由性质1得Φ2ÍΦ1。所以Φ1=Φ2。3、设A={Φ},B=P(P(A)).问:(这道题要求知道幂集合的概念)a)是否Φ∈B?是否ΦÍB?b)是否{Φ}∈B?是否{Φ}ÍB?c)是否{{Φ}}∈B?是否{{Φ}}ÍB?解:设A={Φ},B=P(P(A))P(A)={Φ,{Φ}}在求P(P(A))时,一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解,实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a,{Φ}=b,于是{Φ,{Φ}}={a,b}B=P(P(A))=P({a,b})={B0,B1,B2,B3}={B00,B01,B10,B11}={Φ,{b},{a},{a,b}}然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}以后熟悉后就可以直接写出。a)Φ∈BΦÍBb){Φ}∈B{Φ}ÍBc){{Φ}}∈B{{Φ}}ÍBa)、b)、c)中命题均为真。4、证明AÍBÛA∩B=A成立。证明:A∩B=AÛ"x(x∈A∩B«x∈A)Û"x((x∈A∩B®x∈A)∧(x∈A®x∈A∩B))Û"x((xÏA∩B∨x∈A)∧(xÏA∨x∈A∩B))Û"x((Ø(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(xÏA∨(x∈A∧x∈B))Û"x(((xÏA∨xÏB)∨x∈A)∧(xÏA∨(x∈A∧x∈B)))Û"x(T∧(T∧(xÏA∨x∈B)))Û"x(xÏA∨x∈B)Û"x(x∈A®x∈B)ÛAÍB5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明:任取x∈(A-C)-(B-C)Ûx∈(A-C)∧xÏ(B-C)Û(x∈A∧xÏC)∧Ø(x∈B∧xÏC)Û(x∈A∧xÏC)∧(xÏB∨x∈C)Û(x∈A∧xÏC∧xÏB)∨(x∈A∧xÏC∧x∈C)Ûx∈A∧xÏC∧xÏBÛx∈A∧xÏB∧xÏCÛ(x∈A∧xÏB)∧xÏCÛx∈A-B∧xÏCÛx∈(A-B)-C所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)6、A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)证明:任取x∈A-(B∪C)Ûx∈A∧xÏ(B∪C)Ûx∈A∧Ø(x∈B∨x∈C)Ûx∈A∧(xÏB∧xÏC)Û(x∈A∧xÏB)∧(x∈A∧xÏC)Ûx∈A-B∧x∈A-CÛx∈(A-B)∩(A-C)所以A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C))7、~(A∩B)=~A∪~B~(A∪B)=~A∩~B这两个公式称之为底-摩根定律。证明:任取x∈~(A∩B)x∈~(A∩B)ÛxÏA∩BØÛ(x∈A∧x∈B)Û(xÏA∨xÏB)Ûx∈~A∨x∈~BÛx∈~A∪~B ∴~(A∩B)=~A∪~B8、AÍBÛ~BÍ~A证明:AÍBÛ"x(x∈A®x∈B)Û"x(xÏB®xÏA)Û"x(x∈~B®x∈~A)Û~BÍ~A9、~A=B当且仅当A∪B=