极限的计算、证明.doc

极限的论证计算,其一般方法可归纳如下直接用定义证明极限例、试证明证:要使,只须,故,,,有适当放大,然后用定义或定理求极限或证明极限例、证明:,证:已知是一个常数正整数,使得,,当时,有3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限例、求解:两边开次方:由两边夹:利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问题例、设,为常数,求证:证:,得记,其中再记,其中则有。若取定自然数,则当时由两边夹得证。通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易求极限例、求极限解:换变量后利用复合函数求极限法则求极限例、求极限,其中是自然数解:令当时,有,所以利用复合函数求极限法则可得进行恒等变形化成已知极限进行计算例、8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限例、求极限解:~,~9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限例、,,证明:存在,并求此极限。证明:,且,存在令,有,,10、利用海涅定理解决极限问题例、试证明函数当时极限不存在证:取,而,,得证11、把求极限问题化为导数问题计算例、求极限,其中是自然数解:12、利用洛必达法则求极限例、解:令所以13、把求极限的表达式化为积分和的形式,用定积分进行计算例、设,求解:,14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题例、求解:由第一积分中值定理,所以15、利用收敛级数的必要条件求极限例、求解:已知指数函数的幂级数展开式对于一切收敛而收敛级数的一般项趋于,故得16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限例、解:原式17、利用柯西收敛准则处理极限问题例、:取,任取,有故由Cauchy收敛准则知,为发散数列.