数列与函数极限公式概念.docx

极限与连续一、数列的极限定义:1、给定数列{xn},如果当n无限增大时,其通项xn无限趋过于某个常数A,则称数列{xn}以A为极限,记作:limn→∞xn=A或者xn→A(n→∞)文档收集自网络,仅用于个人学习2、当数列{xn}以实数A为极限时,称数列{xn}收敛于A,否则称数列{xn}发散。二、数列极限的性质:1)极限的惟一性:若数列收敛,则其极限惟一,若limn→∞xn=a,则limn→∞xn+1=a2)有界性:收敛数列必有界.(数列有界是数列收敛的必要非充分条件)3)数列的极限:如数列:则它的极限为3即:三、几个需要记忆的常用数列的极限四、运算法则:如果则:二、函数极限:▪函数极限limx→∞f(x)=A的充分必要条件是limx→-∞f(x)=limx→+∞f(x)=A▪函数极限limx→x0f(x)=A的充分必要条件是limx→x0-f(x)=limx→x0+f(x)=A文档收集自网络,仅用于个人学习▪分段函数极限与该点有无定义无关,→x0fx存在⇌limx→x0-fx=limx→x0+fx▪函数极限的性质:1)极限的惟一性:若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时有极限,则其极限惟一.▪极限运算法则:设limf(x)=A,limg(x)=B,则1)lim[f(x)±g(x)]=A±B2)lim[f(x)g(x)]=AB3)当B≠0时,limf(x)g(x)=AB4)lim[cf(x)]=climf(x)(c为常数)5)lim[f(x)]k=[limf(x)]k(k为常数)▪小结:当a0≠0,b0≠0时,有limx→∞a0xn+a1xn-1+…+anb0xm+b1xm-1+…+bm=a0b0当n=m时0当n<m时∞当n>m时文档收集自网络,仅用于个人学习▪复合函数运算法则:limx→x0f[φx]=limu→u0fu▪数列的夹逼准则:设有3个数列{xn}{yn}{zn},满足条件:1)yn≤xn≤zn(n=1,2,…);2)limn→∞yn=limn→∞zn=a,则数列{xn}收敛,且limn→∞xn=a文档收集自网络,仅用于个人学习▪函数夹逼准则:设函数f(x),g(x),h(x)在点x0的某去心邻域内有定义,且满足条件:1)g(x)≤f(x)≤h(x);2)limx→x0g(x)=A,limx→x0hx=→,仅用于个人学习▪单调有界准则:;,仅用于个人学习▪两个重要的极限:▪重要极限Ⅰ:limx→0sinxx=1▪重要极限Ⅱ:limx→∞(1+1x)x=e,limx→0(1+x)1x=e▪无穷小的性质:1)))))有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+α(x).其中α(x),仅用于个人学习▪无穷小的比较:设α=α(x),β=β(x)=c(c≠0,是常数),