带根号的函数最值问题.doc

膅带根号的函数最值问题袃数学中,求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候,难度会加大。这里,就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。蝿蒆单调性一致情况蚄(x∈[1,2])荿袁分析:这个函数,分成两部分。袈x是增的,也是增的。这个函数在定义域上单调增肄于是,最大值最小值就在端点时取到。(x∈[0,1])芇薃分析:单调性不一致,(x∈[-1,1])肆分析:单调性很难判断。这时候首先考虑换元法肄方法一:三角换元薃我们知道,三角函数、的范围本身就是[-1,1],代入以后可以一可以用三角公式进行运算,开阔思路,二则去掉根号,简化运算。虿膈设x=,这里为了确定范围,不失一般性,设,蒆利用1-=sin,去掉根号很方便。羃莀值域就是羅薄方法二:移项平方蒂这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候,它是那么的吃力不讨好。肀羆蚃两边平方袁注意到这里平方的条件是y≥x袀肈由于x存在,判别式大于等于0肅芁但要注意到,y≥x,于是有y≥-1薁袅膄方法三:求导蚀求导属于暴力流,但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。莁袆薆令y’≥0莄解得,:明显可以看作两点间距离公式类型。这类题难度不大。但要注意,当括号内平方是展开状况的时候,要学会主动去配方发现。螅螃节看作点(x,0)到点(0,1)和(4,4)两点距离之和芈螇如图,在AC线段上显然最小。即取x=1时,:这类题就是很典型的圆锥曲线定义蝿蚅蚆这里,双曲线的右半支,即为题设。那么这里y的范围就很清晰薀蕿题目也可以考x的范围,。芄芀螈分析:导数自然可以尝试,换元法是有些不方便。这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法,袂我们这里把坐标系看作横轴x轴,纵轴p轴,,至于y就看作常数。蚃肀薅看成两个曲线的交点芅第一个曲线是p=,第二条曲线是p=肃第一条曲线就是斜率为-1的,纵截距为y的一条直线螁第二条曲线,进行一定化简蚇莃即蒂这事实上就是一条双曲线,只是中心是(2,0)蒁蚈那我们把渐近线也画出来。螆羁这里渐近线的斜率也是-1,芁那么对于直线p=,结合图像可知,,看作蚈三个向量,(或者是点),:这是一道数学竞赛题。难度颇大。蒇螆首先,最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去x,并且取到等号莂虿薈当且仅当x=9时取等号羄螂求最小值的历程比较痛苦,求导似乎可以一试蒀这里考虑将后面两个根号合并莆芆x=,一般是按以下顺序考虑蚀(1)。单调性羀(2)。数形结合葿(3)。换元(包括三角换元)薃(4)。求导莄(5)。移项平方判别式(少用!)羅(6)。创新思路:分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号蒀另外,一旦提到根式,一定不能忘记,定义域优先!腿根号最值问题较为麻烦,上面所述的例题不多,同学们如果要想熟练掌握,就一定要做大量的练习。