全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导：第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题.doc

全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲不等式的应用、参数取值范围问题Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse知识、方法、(又称排序原理) 设有两个有序数组及Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse 则(同序和) (乱序和) (逆序和) 其中是1,2,…,(对任一排列)成立. 证明:不妨设在乱序和S中时(若,则考虑),且在和S中含有项则①事实上,左-右= 由此可知,当时,调换()中与位置(其余不动),所得新和调整好及后,接着再仿上调整与,又得如此至多经次调整得顺序和 ② 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当或时②,若它们不全相等,则必存在及k,使这时①②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.“平均不等式”: 设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是 此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到 , 和平方平均(在统计学及误差分析中用到) 这四个平均值有以下关系. 其中等号成立的充分必要条件都是. 下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式: 记; 由于数组和数组中对应的数互为倒数,由排序不等式得(逆序和) , 即 从而等号当且仅当或时成立,而这两者都可得到. 下面证明对个正数应用得即(符号成立的条件是显然的).最后证明它等价于而上式左边=,,——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:设、、,…,是任意实数,则 等号当且仅当为常数,时成立. 证明:不妨设不全为0,也不全为0(因为或全为0时,不等式显然成立).记A=,B=. 且令 则于是原不等式成为 其中等号成立的充要条件是从而原不等式成立,. 切比雪夫不等式:若,, 则 证明:由题设和排序不等式,有=, , ……将上述n个不等式叠加后,两边同除以n2, 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,请看下述例题. 例1:对,比较的大小. 【思路分析】要应用“排序不等式”,必须取两组便于排序的数,这要从两式的结构上去分析. 【略解】取两组数不管的大小顺序如何,,故 . 【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键. 例2:,求证 【思路分析】应先将、、三个不失一般性地规定为 【略解】由于不等式关于、、对称,可设 于是. 由排序不等式,得(乱序和).及 以上两个同向不等式相加再除以2, ,仿上可证第二个不等式,请读者自己完成. 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组,,再给出适当的数组. 例3:在△ABC中,试证: 【思路分析】可构造△ABC的边和角的序列,应用排序不等式来证明之. 【详解】不妨设,于是由排序不等式,得相加,得, 得① 又由有得② 由①、②得原不等式成立. 【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明. 例4:设是互不相同的自然数,试证 【思路分析】应先构造两个由小到大的排序. 【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1,2,…,n的一个排列,则于是由排序不等式,得例5:设是正数的一个排列,求证 【思路分析】应注意到 【略证】不妨设,, 又的任意一个排列,于是得到【评述】此题比较简单,但颇具启发意义,读者应耐心体会. 例6:设正数的乘积,试证: 【略解】设,这里都是正数,,, 【评述】:设正数、、的乘积证明 证明:设,且所需证明的不等式可化为,现不妨设,则 ,据排序不等式 得 及 两式相加并化简可得例7:设实数是的一个置换,证明: 【略解】显然所需证不等式等价于这由排序不等式可直接得到. 【评述】应用此例的证法可立证下题: 设是两两互异的正整数(,证明对任意正整数,均有 证明:设是的一个排列,使,则从条件知对每个, 应用柯西不等式,往往能十分简捷地证明某些不等式. 例8:设,求证: 【思路分析】注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 【详解】∵,故由柯西不等式,得, ∴ 【评述】这是