数列第一讲：数列求通项公式的方法.doc

第1讲数列求通项公式的方法【2013年高考会这样考】、、分析问题与解决问题的能力以及计算能力.【复习指导】、,{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an={an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。【例1】(2012湖北理)已知等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前n项的和。【练习1】【2012高考真题陕西理17】(本小题满分12分)设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列。(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列。【答案】,即。利用转化为型,或型。方法很简单,但是考的频率很高。【例2】(2006湖北理)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。(Ⅰ)、求数列的通项公式;(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;点评:本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-,所以=3n2-≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5()(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,故Tn===(1-).因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.【例3】【2012高考真题广东理19】设数列{an}的前n项和为Sn,满足,n∈N﹡,且a1,a2+5,;求数列{an}:对一切正整数n,有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.【训练2】【2012高考真题江西理17】已知数列{an}的前n项和,,且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an;(2)求数列的前n项和Tn。【答案】【点评】本题考查数列的通项,递推、,要注意不能用来求解首项,:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、:若求:。【例4】.已知数列满足,,求。解:由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以,【训练3】(2003年全国高考)已知数列满足.(Ⅰ)求:;(Ⅱ)证明:.4累乘法:已知求,用累乘法:。【例5】.已知数列满足,,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,【训练4】(2004年全国卷)已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项分析:由已知,.由生成两式相减得:,即为商型的,(1)形如【例6】(2006年福建卷)已知数列{a}满足a=1,a=2a+1(n∈N)(Ⅰ)求数列{a}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;(Ⅲ)证明:(n∈N*).解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力. (I)解: 是以为首项,2为公比的等比数列. 即(II)证法一: ①② ②-①,得 即③-④,得即是等差数列. 证法二:同证法一,得令得 设下面用数学归纳法证明(1)当时,等式成立. (2)假设当时,等式成立,那么这就是说,当时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知对任何都成立. 是等差数列. (III)证明: .(2)一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再应用的方法解决.。【例7】.(2010重庆理数)在数列中,=1,,其中实数。求的通项公式;若对一切有,求c的取值范围。