《定义与命题》光棍数（苏科）.docx

关于光棍数的有趣数学题中国特有的娱乐性节日—大光棍节正在来临。每年的1月1日、1月11日和11月1日、11月11日分别被年轻人称为小光棍节、中光棍节和大光棍节,各种商业性和娱乐性活动将陆续展开。作为数学爱好者,在中国我们可以把全部由阿拉伯数字1构成(即形如11...1)的十进位制自然数,定义为“光棍数”(英文叫“repunitnumber”,可翻译为“叠一数”),除光棍数外的其他非零自然数可定义为“非光棍数”。例如,1、11、11111都是光棍数。1是一位光棍数,11是二位光棍数,1111是四位光棍数。1112是非光棍数。1是第一个光棍数,是0的后继数,是自然数产生的基础。按照老子的说法,道生一,一生二,二生三,三生万物。1是单位数。1的任何次方都是1。任何必然发生事件的概率都是1。11是第二个光棍数,是自然数中的第5个质数,它的倒数的循环周期为2。11的平方(121)、三次方(1331)和四次方(14641)与两项代数式的平方、三次方和四次方的系数一致。111是第三个光棍数。111不是质数,能被3和37整除,所以3、6、...27乘以37都能快速得到结果,分别为111、222、...、999。由1和质数组成的最小幻方(31,73,7;13,37,61;67,1,43)的幻和为111。由自然数1到36组成的六阶幻方中,幻和也是111。1111是第四个光棍数,是最不像光棍的数,因为它看起来更像两个人使用的两双筷子。1111不是质数,是最小的二位数质数11与最小的三位数质数101的乘积。所有的光棍数都是回文数。任何光棍数都是可以表示为相邻两个自然数平方之差。除11外的其他偶位光棍数都不是质数。随着光棍数位增加,质数越来越少,万位光棍数以内,只有两位、十九位、二十三位、三百一十七位、一千零三十一位光棍数是质数。以下是笔者收罗或者改编的一些关于光棍数的数学题,分享给大家,以撩起大家对数学的兴趣。特别地,如有光棍在光棍节里无人作陪,而是通过解答这些光棍数的趣味题打发时光,在不知不觉中度过晚上11点11分,也是一种选择。(1)计算:n(n小于等于10)位光棍数的平方后得到的非光棍数。例如,二位光棍数11的平方=121。(2)计算:求1+11^11+111^111+...+1111111111^1111111111的后两位数字(^表示乘方)。(3)计算:2014年11月1日是星期六,过111^111天是星期几?2014年11月11日是星期二,过1111^1111天是星期几?(4)计算:20141111是一个非光棍数。如何将若干个光棍数,只通过加减乘除和括号进行四则运算,变成20141111。当然希望所用的光棍数越少越好。例如,3=1+1+1,用了3个光棍数;121=11×11,用了2个光棍数。(5)计算:999999999乘上一个最小的非光棍数,可以变成光棍数。求这个最小的非光棍数。(6)计算:对从二位光棍数到十位光棍数的9个光棍数进行质因数分解。(7)计算:要使形如20142014...2014的非光棍数能被两位光棍数整除,2014的个数最少是多少?(8)证明:有n位光棍数盏灯,从左到右排成一横行。我们给电灯编上号码1,2,3,…,(n-1)位光棍数,…,n位光棍数。每一盏灯有一个拉线开关控制着。最初,电灯全是关着的。另外,还有n位光棍数个学生。第一个学生走过来