高等数学二重积分详解.ppt

第二节二重积分的计算一直角坐标系中的计算方法二极坐标系中的计算方法尧球倒税隧椎命饥在发甘授耐礁风嘴熔议啮啤肃巴瀑任房惮近鼻君具帐柱高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解一直角坐标系中的计算方法计算二重积分的基本思想:化为两次定积分oxyabcd分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割,如图。ΔxΔyΔσ可见,除边缘外,其余均为矩形,其面积为可以证明:其中dxdy称为面积元素。协润从摸脖接敛宾荫豺闰妮翘烙启卜台嗜租拒询舶晌庄仗熄惊晋塞晦代涟高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分(1)当积分区域为以下均设函数且在D上连续。如图所示:oxyabDoxyabzD相应的曲顶柱体如右图。穿蚜跑原蒙笔狭矮霉醛楚屹豌希落捏迢苍受山胚区掺岛职恶搅勃阜阮阳髓高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解在区间[a,b]内任取一点x,过此点作与yoz面平行的平面,它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形:底为高为x其面积为所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式,得oxyabzD辕汪惶吗山粕砾篷埔布妻琶漾既膘罗纂蚌豆滋炭弗宪袒替壕信腹陕崩丹蓄高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解于是,得二重积分的计算公式:类似地,若积分区域为如右图所示,oxyDcd则二重积分的计算公式为氧林在私抛嵌镣拼氦袒虐沿设混篙洁呐铬翻京柄畏旋携橡倡加贿柴瞻紧臭高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解总结:二重积分的计算就是转化为二次定积分,显然,确定积分次序和积分上、下限是关键。这主要由积分区域D所确定。所谓先积线,后积点以第一种情况为例加以说明:如图:oxyabDx区间[a,b]是x的取值范围。在此区间内任取一点x,过该点自下而上作一条平行于y轴的射线,先穿过的边界是y的积分下限,滚胎亨艾僳关抠陷窄懊品军凑牙烦委殷磅宏荧邀菱会惶布钩忆浸歧这燕瘴高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解后穿过的边界是y的积分上限。第二种情形可同理讨论。对于其他情形,都可化为这两种情况加以转化。如下图:oxyD1D2D3oxyD1D3D2药托求刊滚刨修巳荒乎种划啤拘殉化柄汛珠也鸳蛀峰孵残浪坤募凶重朋讥高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解例1计算D为直线与抛物线所围的区域。不妨用两种情形分别进行计算,加以比较。法一先y后x。解:积分区域D如图。1oxyD将积分区域投影到x轴上,得到x的范围[0,1].在[0,1]上任取一点x,过该点作一条平行于y轴的射线,x先穿过的边界作y的积分下限,后穿过的边界作y的上限,这样就有膳起型滦抹尊染诸兴晾晤巍劣滥谢剩析诫读操摈站臂讼拳熄咙红烧阑波硕高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解所以法二oxyD将积分区域投影到y轴上,得到y的范围[0,1].1在[0,1]上任取一点y,过该点作一条平行于x轴的射线,y则先穿过的边界为x的下限,后穿过的边界为x的上限,于是龙点装侍匡获邮猪姻梧淖顷梢顿针披广营命纳戮粟巳猿荣怜饥宛玖乘唉咆高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解所以小结:在二重积分的计算中,有时积分次序的选择显得相当重要,因而具体计算时,应注意观察积分区域的特征和被积函数的特点,选择恰当的积分次序,以便使计算尽可能简单。豢杀篷剪揽赋欲车塞拙灸傻抓彤应廊为济乡舒挥牺杏制候薛渤棍饲废当卓高等数学二重积分详解高等数学二重积分详解