几类特殊行列式的求解技术方法.doc

个人收集整理仅供参考学习:..第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版) JournalofHigherCorrespondenceEduca矗on(NatttrMScieaces) October2002文章编号:1006—7353【2002)05—0024(08)一05几类特殊行列式地求解方法+徐胜林 孙 平(华中师范大学数学系 湖北武汉430079)摘要:本文通过严格地求解和论证,、中心对称行列式等特殊行列式地求解方法和技巧,:循环行列式;中心对称行列式;降阶定理;求解方法中图分类号: 文献标识码:A行列式地计算,是高等代数地重要内容 ,,但过程列式,一般都可以直接利用行列式地定义和 较长,受篇幅限制,我们受析因子法地启示,,z阶行列式时,通常需要 采用了下面这种比较简单但不太容易想到地灵活地应用一些计算方法和技巧,才能得出 ,给出了证明 易知求解地一些方法和技巧. ~吼l 眈 q 口1 ,2阶循环行列式地计算方法定义1 形如 ‰n 乱 眈 %~~ 孙‰ q ~ %%q 眈一岔l n~. ~ ~ ~ 一‰ q 眈 ~ %卅n犹 % 撕 ~ 口 1墨叠~巧D.= 孙一 ‰ 吼 一 %<2~ ~ ~ ~ ¨. 厂(而)观‘ 弛 批 1~ 口 z,(毛)地行列式称为l'l阶z一循环行列式,简记为 = z亨(毛)D.=『al,a2,⋯,.,其中口1,口2,⋯,,,当z=1时,,z阶循环行 1 1 ⋯ 1列式,记为D.=}口1,口2,⋯,;当名=一 Xl X2 ⋯ Zn1时,,记为D.: 记|AI=j口1,口2,⋯,口.}一1. 硝一1 z≥一1⋯znn-1定理1 当z≠0时,咒阶?一循环行列 则lAl是范德蒙行列式,AI=Ⅱ(乃一Xi)≠.=l乜1,%⋯,:=Ⅱf(xi).其中 1≤i<j≤ni=1由(1)式可得厂(z)-∑口p¨,z1,z2,⋯^是z”一z D.·{A·收稿日期:2002—09—1824万方数据/个人收集整理仅供参考学习第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版) JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) October2002f(x-) f(x2) ⋯ f(x.)I=告[2a+(咒一1)d]) z2,(z2) ⋯xJ(x.)f当k=1,2,⋯,咒一1时,叫‘≠1,此时,⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 叫t乒{:1+z+z2+⋯+Xn--1地根,=lx2f(x.) zi^z:) ⋯z≯(z.)lzi一1“z1)z§一1,(z2)⋯z#,(z.)l 所以每一个叫‘都满足方程1十z+z2+⋯+z”1=0,从而=Ⅱ厂(zi)·AI,f(∞‘)=口[1+叫6+(叫‘)2+⋯+(叫‘)”一1]因此D.=|al,a2,⋯,: +d∞五[1+2叫五十3(∞愚)2+⋯+(凡一=Ⅱf(x;). 1)(叫‘)”2]推论1 设循环行列式D.=jnl,口2, :d讲幽址警血二一1Xj)--11)d,五=1,2,⋯,,d为已知数,则 =d一·玉举盟!盟!⋯,=口+(愚一有 =一糌=~砑ndl.(五-1,2,⋯一1)o=一————_=~——_Ip=I/⋯"一IJ.⋯’7. ~1一∥ 一∥、.‘D.=}al,a2,⋯, 注意到∞,∞2,⋯,-x是多项式1+z+=i1.[2口+(7z一1)d].(一咒d)n—l. z2+⋯+z”一1地7z一1个互不相等地根,故证明 设g(x)=1+2z+322十⋯+ z”一1+⋯+X2+z+1=(z一甜)(z一(7z一1)z”一2,则g(z)一zg(z)=1+z+z2 ∞2)⋯(z一∞”一1).+⋯+z”一2一(72—1)z”一1, 在等式两边同时令z=1,得所以,当z≠1时,出)=出生生≯』芝.(1一叫)(1一叫2)⋯(1一Ojn-1)=.=l吣%⋯,.=Ⅱ厂(叫‘)=(一兰)·(一禹)·(一当X=1时,易知g(1)=1+2+3+⋯+(咒一1):丛冬型. 尚)..卜#鲁)·争2口+(咒一记厂(z)=∑口肛.~,则由定理1可知, 1)d]17.[2口+(n一1)d]7l·(一nd)”一1