基于MATLAB的科学计算—线性方程组.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse螆科学计算—理论、方法膂及其基于MATLAB的程序实现与分析罿三、解线性方程组(线性矩阵方程)蚇解线性方程组是科学计算中最常见的问题。所说的“最常见”有两方面的含义:薄问题的本身是求解线性方程组;薄许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。葿关于线性方程组蒈(1)蚅其求解方法有两类:蚃直接法:高斯消去法(GaussianElimination);袈间接法:各种迭代法(Iteration)。膈1、高斯消去法蚆引例螁考虑如下(梯形)线性方程组:薂衿高斯消去法的求解思路:把一般的线性方程组(1)化成(上或下)梯形的形式。蒄2)高斯消去法——示例膃考虑如下线性方程组:羁虿第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端,第一个方程的两端乘薅-1加到第三个方程的两端,得节莀2) 第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端,得膅薇从上述方程组的第三个方程依此求解,得蚄袀3)高斯消去法的不足及其改进——高斯(全、列)主元素消去法袆在上例中,由于建模、计算等原因,,实际求解的方程组为莄螂注:数值稳定的算法艿高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取(列)主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素,高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。蚆列主元素消去法的基本思想:在每轮消元之前,选列主元素(绝对值最大的元素),:设已经完成第1步到第步的按列选主元、交换两行、消元计算,:对于,莆(1)选列主元素,即确定使;蒇(2)如果,则方程组解不唯一,或者接近奇异矩阵,停止运算;膃(3)如果,则交换第行与第行元素;肈(4)消元计算:肇芄(5)回代计算:莁螁完全主元素消去法即是每次选主元时,依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素,然后交换两行、两列,:设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算,,:对于,薈(1)选主元素,即确定使;膃(2)如果,则方程组解不唯一,或者接近奇异矩阵,停止运算;螂(3)如果,则交换第行与第行元素;如果,则交换第列与第列元素;蚀(4)消元计算:莈芄(5)【注】完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法,但完全主元消去法解方程组,在选主元素时要化费较多的计算机时间,行主元消去法与列主元消去法运算量大体相同,实际计算时,,用不同的计算方法,,如果计算过程中舍入误差能得到控制,对计算结果影响较小,则称此算法是数值稳定的;否则,如果计算过程中舍入误差增长迅速,计算结果受舍入误差影响较大,,我们解数值问题时,应选择和使用数值稳定的算法,否则如果使用数值不稳定的算法,)高斯列主元素消去法的MATLAB实现:,:Hilbert矩阵:肃注:非奇异矩阵的条件数:莁5)LU分解(LU Factorization)(高斯消去法、Doolittle分解)羈高斯消去法的消元过程,从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵A,且乘积的结果为上三角矩阵,即蕿(2):利用A的第一行、第一列元素确定U的第一行、,肅,膆,袂得到肁,.()螆设已经计算出U的第1至r-1行元素,L的第1至r-1列元素,:利用A的第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、,有羀蒀,薆得U的第r行元素为肄.()莃由羀,芇得肆.(),,,.,,)LU分解的MATLAB实现:或肆例