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差分方程
定义数列 A={a0,a1,a2,……}的一阶差分是
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例1 储蓄存单
考虑一开始价值为1000元的储蓄存单
月利率为1%
下面的数列表示逐月价值:
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例1 储蓄存单
其一阶差分为
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例1 储蓄存单
一阶差分表示在一个时间周期里数列的变化
在储蓄存单的例子中即是所得的利息。
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例1 储蓄存单
如果n是月数
an是n月后储蓄存单的价值
每个月的利息增长由第n个差分表示
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例1 储蓄存单
上面的方程可表示无穷多个代数方程,称为动力系统。
动力系统能够描述从一个周期到下一个周期的变化。
知道了该序列中的某一项,就可以知道通过差分方程算出紧接着它的下一项,但是不能直接算出任意特定的项。
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差分方程组——Trafalgar战斗
在1805年的特拉法尔加(Trafalgar)战斗中,由拿破仑指挥的法国、西班牙海军联军和由海军上将纳尔逊指挥的英国海军作战。
一开始,法西联军有33艘战舰,而英军有27艘战舰。在一次遭遇战中己方损失都是对方战舰的10%。分数值是有意义的,表示有一艘或多艘战舰不能全力以赴地参加战斗。
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Trafalgar战斗
令n表示战斗过程中遭遇战的阶段并定义 Bn=第n阶段英军的战舰数 Fn=第n阶段法军的战舰数
于是在第n阶段的遭遇战后,各方剩余的战舰数为
Bn+1=Bn- , Fn+1=Fn-
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Trafalgar战斗
阶段
英方军力
法方军力
阶段
英方军力
法方军力
1
27
33
6


2


7


3


8


4


9


5


10


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Trafalgar战斗
对于全部军力介入的情形,英军是全面失败的。
纳尔逊的分割并各个击破战略:拿破仑军队的33艘战舰基本上是分三个战斗编组(A=3, B=17, C=13)沿一条直线一字排开的。纳尔逊的战略是用13艘英军战舰去迎战战斗编组A(另外14艘备用)。战斗后留存下来的战舰加上备用的14艘战舰去迎战战斗编组B,最后所有剩下的战舰去迎战战斗编组C。
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