倒奇函数和倒偶函数-化工.doc

浅谈倒奇函数和倒偶函数-化工浅谈倒奇函数和倒偶函数 李磊(安徽理工大学化学工程学院,安徽淮南232001)【摘要】由的积分得到启发,依据倒代换、积分函数理论得到一类与奇偶函数性质极为相似形如F(x)=F(1/x)或F(-x)=-F(1/x)的一类函数。该函数不同于奇偶函数之处是,不像奇偶函数那样具有严格的对称性,但经过倒代换函数数值上却有对称性,有方便解决互为倒数区间的定积分的用途。关键词 奇偶;倒代换;积分函数;互为倒数区间1 定义形如F(x)=F(1/x)或F(x)=-F(1/x)的函数叫做倒偶函数和倒奇函数。若F(x)=F(1/x)则F(x)为倒偶函数;若F(x)=-F(1/x)则称F(x)为倒奇函数。2 在初等函数中倒置函数的常见例子F(x)=C,F(x)=logɑx分别为倒偶函数和倒奇函数。证明:F(x)=C,F(1/x)=C ∴F(x)=C为倒偶函数F(x)=logɑx=logɑxF(1/x)=-logɑx=-F(x) ∴F(x)=logɑx为倒奇函数。而F(x)=ɑx,xn,sinx,cosx,tanx,arcsinx,arctanx都不是倒置函数。3 倒置函数的一般表示及其证明4 奇偶函数与倒置函数的写法偶函数必满足F(-x)=F(x),倒偶函数必满足F(x)=F(1/x)奇函数必满足F(-x)=-F(x),倒奇函数必满足F(x)=-F(1/x) 倒偶函数的特殊极值点与偶函数的特殊极值点的比较倒偶函数的写法由上述推导可得出F(x)=f(x)+f(1/x)对F(x)求导求导可得F'(x)=f'(x)-1/x2f'(1/x) ∴F'(1)=f'(1)-f'(1)=0 ∴x=1必为驻点。那么x=1是否为极值点呢?x=1必为极值点。证明:F'(1)=f'(1+)-f'(1-)而F'(1-)=f'(1-)-f'(1+)=-f'(1+)-f'(1-)=-F'(1)由此可见F'(x)和F'(1/x)必异号。∴0在(1-,1)和(1,1-)上F'(x)的正负号发生了变化,故而得F(1)必为极大值或极小值,进而得x=1必为极值点。而F(x)为偶函数则可写成F(x)=f(x)+f(-x)进而有F'(x)=f'(x)-f'(-x),∴F'(0)=f'(0)-f'(0)=0故而x=0必为驻点。F'(0+)=f'(0+)-f'(0-),而F'(0-)=f'(0-)-f'(0+)=