空间向量知识点归纳归纳总结(经典).doc

。:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。肆注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。羆(2)。肁定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。膅肃;;膂运算律:⑴加法交换律:螀⑵加法结合律:芅⑶数乘分配律:薄运算法则:三角形法则、平行四边形法则、。蕿(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,平行于,记作。资料个人收集整理,勿做商业用途莅(2)共线向量定理:空间任意两个向量、(≠),//存在实数λ,使=λ。羅(3)三点共线:A、B、C三点共线<=>莂<=>莈(4)(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。肃说明:空间任意的两向量都是共面的。莁(2)共面向量定理:如果两个向量不共线,与向量共面的条件是存在实数使。薅(3)四点共面:若A、B、C、P四点共面<=>蒂<=>:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使。腿若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底,叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。资料个人收集整理,勿做商业用途薅推论:设是不共面的四点,则对空间任一点,都存在唯一的三个有序实数,使。:芃(1)空间直角坐标系中的坐标:袈在空间直角坐标系中,对空间任一点,存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作,叫横坐标,叫纵坐标,叫竖坐标。资料个人收集整理,勿做商业用途罿芄注:①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)资料个人收集整理,勿做商业用途蚁(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为,这个基底叫单位正交基底,用表示。空间中任一向量=(x,y,z)资料个人收集整理,勿做商业用途羁(3)空间向量的直角坐标运算律:聿①若,,则,蚅,,蒃,蚀,膈。肆②若,,则。袁一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。葿③定比分点公式:若,,,则点P坐标为。推导:设P(x,y,z)则,显然,当P为AB中点时,膈④,三角形重心P坐标为膃⑤ΔABC的五心:薃内心P:内切圆的圆心,角平分线的交点。(单位向量)芈外心P:外接圆的圆心,中垂线的交点。芈垂心P:高的交点:(移项,内积为0,则垂直)薄重心P:中线的交点,三等分点(中位线比)肁中心:正三角形的所有心的合一。芁(4)模长公式:若,,莈则,羅(5)夹角公式:。螂ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角,钝角Δ肀(6)两点间的距离公式:若,,蒈则,。袈(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角,记作;且规定,显然有;若,则称与互相垂直,记作:。资料个人收集整理,勿做商业用途薈(2)向量的模:设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:。薂(3)向量的数量积:已知向量,则叫做的数量积,记作,即。羂(4)空间向量数量积的性质:薇①。②。③。蚈(5)空间向量数量积运算律:羃①。②(交换律)。莀③(分配律)。蚀④不满足乘法结合率:-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直荿1-2面面平行两面的法向量平行螇2线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直螅2-1线面垂直线与面的法向量平行薀2-2面面垂直两面的法向量垂直膈3线线夹角(共面与异面)两线的方向向量的夹角或夹角的补角,袇3-1线面夹角:求线面夹角的步骤:先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,,勿做商业用途膆3-2面面夹角(二面角):若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法向量同进同出,,:求点到平面的距离:在平面上去一点,得向量;;计算平面的法向量;.膁4-1线面距离(线面平行):转化为点面距离羇4-2面面距离(面面平行):转化为点面距离芃羄【典型例题】()-,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量。蚄⑴;⑵;蒁⑶;⑷。,问