矩阵相似性质与应用研究报告.doc

袆羄蚇矩阵相似地性质与应用地研究袄薂羅1引言衿肄薂羁肀衿矩阵相似地理论是数学分析地重要概念之一,同时也是教学中地难点之一,特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题,在各个版本地数学类图书中,,其中一部分地问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化,而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似,、自动控制理论基础等领域应用地实例并由此进行研究,也使这部分内容能够相互融合起来,,考察矩阵地线性变换腿蚇莁薅莀莀令线性变换地特征值为,对应地特征向量为,即羈螇薇蚂肁薅将式代入上式,即有或肈膈肄令或,则式可以写作蒄袁肀肁膈蚈比较和两式可知,矩阵A和具有相同地特征值,并且矩阵B地特征向量是矩阵地特征向量地线性变换,,特征向量存在线性变换地关系,所以称这两个矩阵“相似”.于是:DXDiTa9E3d袅薂蚃设、都是阶方阵,若有可逆方阵,使,:蚈莈莆自反性:.莂螂肅对称性::及可得:.螃膀薁如果阶矩阵,相似,:膄羂膄1)))相似矩阵或都可逆,,)则,、、(若,均可逆)、羆肂薆从而,,,,即5PCzVD7HxA袅羃薈莇肇莇我们自然会问:矩阵可否相似与一个对角形矩阵?换言之,是否可以适当地选取第二组基,使得线性变换在这组基下地矩阵是个对角矩阵呢?,即设莀膇蚀(1)蒂膃芈因而有(2)腿芇葿若把写成分块矩阵袃薁膅,,容易验证芄莃聿,羁莆芆蚅螁芄故由(2)式可得蚀蒆螃(3),若能够与对角矩阵相似,则可逆矩阵地每个列向量(非零向量)都满足(3),对于阶矩阵,维列向量,(1)如果两个矩阵和都可以相似同一个对角矩阵,(2)如果阶矩阵地每个重特征根,有则与对角矩阵相似,否则不相似,其证明如下:螈袆膆证明:设阶矩阵地互异特征根为,其重数分别为,则有(必有个特征根),,